ある大学の入学者のうち、他のa大学、b大学、c大学を受験した人全体の集合をそれぞれA, B, Cとする。 $n(A) = 64$, $n(B) = 52$, $n(A \cap B) = 18$, $n(C \cap A) = 14$, $n(B \cup C) = 102$, $n(C \cup A) = 113$, $n(A \cup B \cup C) = 139$のとき、次の問いに答えよ。 (1) c大学を受験した人は何人か。 (2) a大学、b大学、c大学のすべてを受験した人は何人か。 (3) a大学、b大学、c大学のどれか1大学のみを受験した人は何人か。

1. 問題の内容

ある大学の入学者のうち、他のa大学、b大学、c大学を受験した人全体の集合をそれぞれA, B, Cとする。

$n(A) = 64$, $n(B) = 52$, $n(A \cap B) = 18$, $n(C \cap A) = 14$, $n(B \cup C) = 102$, $n(C \cup A) = 113$, $n(A \cup B \cup C) = 139$のとき、次の問いに答えよ。

(1) c大学を受験した人は何人か。

(2) a大学、b大学、c大学のすべてを受験した人は何人か。

(3) a大学、b大学、c大学のどれか1大学のみを受験した人は何人か。

2. 解き方の手順

(1)

$n(B \cup C) = n(B) + n(C) - n(B \cap C)$より、

$102 = 52 + n(C) - n(B \cap C)$

$n(C) = 50 + n(B \cap C)$ ...(1)

$n(C \cup A) = n(C) + n(A) - n(C \cap A)$より、

$113 = n(C) + 64 - 14$

$n(C) = 113 - 64 + 14 = 63$ ...(2)

(2)より、c大学を受験した人は63人。

(2)

$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(C \cap A) + n(A \cap B \cap C)$

$139 = 64 + 52 + 63 - 18 - n(B \cap C) - 14 + n(A \cap B \cap C)$

$139 = 147 - n(B \cap C) + n(A \cap B \cap C)$

$n(B \cap C) = 147 - 139 + n(A \cap B \cap C) = 8 + n(A \cap B \cap C)$ ...(3)

(1)より、$n(C) = 63$

(1)より、$n(C) = 50 + n(B \cap C)$

$63 = 50 + n(B \cap C)$

$n(B \cap C) = 13$ ...(4)

(3), (4)より、

$13 = 8 + n(A \cap B \cap C)$

$n(A \cap B \cap C) = 5$

(3)

a大学のみ受験した人数：$n(A) - n(A \cap B) - n(A \cap C) + n(A \cap B \cap C)$ = $64 - 18 - 14 + 5 = 37$

b大学のみ受験した人数：$n(B) - n(A \cap B) - n(B \cap C) + n(A \cap B \cap C)$ = $52 - 18 - 13 + 5 = 26$

c大学のみ受験した人数：$n(C) - n(B \cap C) - n(A \cap C) + n(A \cap B \cap C)$ = $63 - 13 - 14 + 5 = 41$

37 + 26 + 41 = 104

3. 最終的な答え

(1) 63人

(2) 5人

(3) 104人