与えられた式 $x^2 + 2xy - 5x - 6y + 6$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 + 2xy - 5x - 6y + 6$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$x^2 + (2y - 5)x - 6y + 6$

次に、$x$ についての二次式と見て、たすき掛けを試みます。定数項 $-6y+6$ を因数分解すると、例えば $-6(y-1)$となります。

$(x + A)(x + B) = x^2 + (A + B)x + AB$ となる $A, B$ を探します。

$A+B=2y-5$

$AB = -6y+6$

別の考え方として、与式を以下のように変形します。

$x^2 + 2xy - 5x - 6y + 6 = x^2 + (2y - 5)x + (-6y + 6)$

試しに、定数項を $-6(y-1)$ と因数分解してみます。$A$ と $B$ を探すにあたり、A と B の候補は、それぞれ y の一次式となることが予想されます。

ここで、$2y-5$ は、$2y-2-3$と変形できます。すると、$2(y-1) -3$と表せるので、A と B にそれぞれ $2(y-1)$ と $-3$ を割り当ててみます。

$A = 2y-2 = 2(y-1)$

$B = -3$

この時、$AB = (2y-2)(-3) = -6y+6$となり、定数項に一致します。

また、$A+B = (2y-2) + (-3) = 2y-5$ となり、一次の項の係数にも一致します。

よって、$A=2y-2$、$B=-3$ と決まります。

したがって、与式は $(x+2y-2)(x-3)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(x+2y-2)(x-3)$