ある大学の入学者のうち、他のa大学、b大学、c大学を受験した人全体の集合をそれぞれA, B, Cで表す。 $n(A) = 65, n(B) = 40, n(C) = 24, n(A \cap B) = 14, n(B \cap C) = 9, n(C \cap A) = 11, n(A \cap (B \cup C)) = 55, n(C \cup A) = 78, n(A \cup B \cup C) = 99$ のとき、次の問いに答える。 (1) c大学を受験した人は何人か。 (2) a大学, b大学, c大学のすべてを受験した人は何人か。 (3) a大学, b大学, c大学のどれか1大学のみを受験した人は何人か。

1. 問題の内容

ある大学の入学者のうち、他のa大学、b大学、c大学を受験した人全体の集合をそれぞれA, B, Cで表す。

$n(A) = 65, n(B) = 40, n(C) = 24, n(A \cap B) = 14, n(B \cap C) = 9, n(C \cap A) = 11, n(A \cap (B \cup C)) = 55, n(C \cup A) = 78, n(A \cup B \cup C) = 99$

のとき、次の問いに答える。

(1) c大学を受験した人は何人か。

(2) a大学, b大学, c大学のすべてを受験した人は何人か。

(3) a大学, b大学, c大学のどれか1大学のみを受験した人は何人か。

2. 解き方の手順

(1) 問題文に $n(C) = 24$ と明記されている。

(2) $n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(C \cap A) + n(A \cap B \cap C)$

$99 = 65 + 40 + 24 - 14 - 9 - 11 + n(A \cap B \cap C)$

$99 = 129 - 34 + n(A \cap B \cap C)$

$99 = 95 + n(A \cap B \cap C)$

$n(A \cap B \cap C) = 4$

(3) a大学のみを受験した人は、$n(A) - n(A \cap B) - n(A \cap C) + n(A \cap B \cap C)$

b大学のみを受験した人は、$n(B) - n(A \cap B) - n(B \cap C) + n(A \cap B \cap C)$

c大学のみを受験した人は、$n(C) - n(A \cap C) - n(B \cap C) + n(A \cap B \cap C)$

したがって、a大学のみを受験した人は、

$65 - 14 - 11 + 4 = 44$

b大学のみを受験した人は、

$40 - 14 - 9 + 4 = 21$

c大学のみを受験した人は、

$24 - 11 - 9 + 4 = 8$

a, b, c大学のどれか1大学のみを受験した人は、

$44 + 21 + 8 = 73$

3. 最終的な答え

(1) 24人

(2) 4人

(3) 73人