与えられた式 $(x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2)(x^4 - x^2y^2 + y^4)$ を展開せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2)(x^4 - x^2y^2 + y^4)$ を展開せよ。

2. 解き方の手順

まず、$(x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2)$ を計算します。これは、$(x^2 + y^2 + xy)(x^2 + y^2 - xy)$ と書き換えることができます。

ここで、$A = x^2 + y^2$ とおくと、$(A + xy)(A - xy)$ となり、$A^2 - (xy)^2 = A^2 - x^2y^2$ となります。

$A$ を元に戻すと、$(x^2 + y^2)^2 - x^2y^2$ となります。

$(x^2 + y^2)^2 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4$ なので、$(x^4 + 2x^2y^2 + y^4) - x^2y^2 = x^4 + x^2y^2 + y^4$ となります。

したがって、$(x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2) = x^4 + x^2y^2 + y^4$ となります。

次に、$(x^4 + x^2y^2 + y^4)(x^4 - x^2y^2 + y^4)$ を計算します。

これは、$(x^4 + y^4 + x^2y^2)(x^4 + y^4 - x^2y^2)$ と書き換えることができます。

ここで、$B = x^4 + y^4$ とおくと、$(B + x^2y^2)(B - x^2y^2)$ となり、$B^2 - (x^2y^2)^2 = B^2 - x^4y^4$ となります。

$B$ を元に戻すと、$(x^4 + y^4)^2 - x^4y^4$ となります。

$(x^4 + y^4)^2 = x^8 + 2x^4y^4 + y^8$ なので、$(x^8 + 2x^4y^4 + y^8) - x^4y^4 = x^8 + x^4y^4 + y^8$ となります。

したがって、$(x^4 + x^2y^2 + y^4)(x^4 - x^2y^2 + y^4) = x^8 + x^4y^4 + y^8$ となります。

3. 最終的な答え

$x^8 + x^4y^4 + y^8$