2点 $A(-3, 2)$ と $B(1, 6)$ を直径の両端とする円について、中心 $C$ の座標、半径 $r$、そして円の方程式を求める。

1. 問題の内容

2点 $A(-3, 2)$ と $B(1, 6)$ を直径の両端とする円について、中心 $C$ の座標、半径 $r$、そして円の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 中心 $C$ の座標を求める。中心は線分 $AB$ の中点である。中点の座標は、各座標の平均で求められる。

中心 $C$ の $x$ 座標は $\frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

中心 $C$ の $y$ 座標は $\frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$

したがって、中心 $C$ の座標は $(-1, 4)$ である。

(2) 半径 $r$ を求める。半径は中心 $C$ から点 $A$ または点 $B$ までの距離である。点 $A$ と中心 $C$ の距離を計算する。

$r = \sqrt{(-1 - (-3))^2 + (4 - 2)^2} = \sqrt{(2)^2 + (2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

したがって、半径 $r = 2\sqrt{2}$ である。

(3) 円の方程式を求める。中心が $(h, k)$ で半径が $r$ の円の方程式は $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ で表される。

中心 $C$ の座標は $(-1, 4)$、半径 $r$ は $2\sqrt{2}$ であるので、円の方程式は

$(x - (-1))^2 + (y - 4)^2 = (2\sqrt{2})^2$

$(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 8$

3. 最終的な答え

中心 $C$ の座標: $(-1, 4)$

半径 $r$: $2\sqrt{2}$

円の方程式: $(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 8$