1. 空間内の3つのベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\vec{c} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ が与えられています。 (1) $\vec{a}$, $\vec{b}$ を2辺とする平行四辺形の面積を求めます。 (2) $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ を3辺とする平行六面体の体積を求めます。 (3) $\vec{b}$ と $\vec{c}$ に垂直な単位ベクトルを求めます。

1. 問題の内容

1. 空間内の3つのベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\vec{c} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ が与えられています。

(1) $\vec{a}$, $\vec{b}$ を2辺とする平行四辺形の面積を求めます。

(2) $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ を3辺とする平行六面体の体積を求めます。

(3) $\vec{b}$ と $\vec{c}$ に垂直な単位ベクトルを求めます。

2. 次の空間内の2点を通る直線の方程式およびパラメータ表示を求めます。

(1) (1, 2, 3), (-1, 2, 6)

(2) (3, 2, 3), (-4, 4, 7)

(3) (1, 3, 3), (1, -3, 3)

3. 点 (1, 3, 2) を通り、2つのベクトル $\begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}$ に垂直な直線の方程式およびパラメータ表示を求めます。

4. 空間内の直線 $\frac{x-1}{2} = \frac{y-8}{1} = \frac{z-8}{3}$ と $xy$ 平面, $yz$ 平面, $zx$ 平面との交点の座標を求めます。

5. 2つの直線 $\frac{x}{3} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1}$ と $\frac{x-1}{2} = \frac{y+4}{5} = \frac{z-2}{-1}$ は交わるかどうか判定し、交点の座標を求めます。

以下，上記の問題を順番に解いていきます．

1. (1) 平行四辺形の面積は $|\vec{a} \times \vec{b}|$ で与えられます。

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1(1) - (-1)(-1) \\ -1(1) - 1(1) \\ 1(-1) - 1(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}$

$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

(2) 平行六面体の体積は $|(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|$ で与えられます。

$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 0(-1) + (-2)(1) + (-2)(1) = -4$

体積は $|-4| = 4$

(3) $\vec{b} \times \vec{c} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1)(1) - (1)(1) \\ (1)(-1) - (1)(1) \\ (1)(1) - (-1)(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$

$|\vec{b} \times \vec{c}| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

単位ベクトルは $\frac{\vec{b} \times \vec{c}}{|\vec{b} \times \vec{c}|} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/\sqrt{2} \\ -1/\sqrt{2} \\ 0 \end{pmatrix}$

もう一つの単位ベクトルは $\begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} \\ 0 \end{pmatrix}$

2. (1) 方向ベクトル $\vec{d} = (-1, 2, 6) - (1, 2, 3) = (-2, 0, 3)$

直線の方程式: $\frac{x-1}{-2} = \frac{y-2}{0} = \frac{z-3}{3}$

パラメータ表示: $x = 1 - 2t, y = 2, z = 3 + 3t$

(2) 方向ベクトル $\vec{d} = (-4, 4, 7) - (3, 2, 3) = (-7, 2, 4)$

直線の方程式: $\frac{x-3}{-7} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-3}{4}$

パラメータ表示: $x = 3 - 7t, y = 2 + 2t, z = 3 + 4t$

(3) 方向ベクトル $\vec{d} = (1, -3, 3) - (1, 3, 3) = (0, -6, 0)$

直線の方程式: $x=1, \frac{y-3}{-6} = \frac{z-3}{0}$

パラメータ表示: $x = 1, y = 3 - 6t, z = 3$

3. 法線ベクトル $\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-5)(-2) - (3)(2) \\ (3)(-1) - (2)(-2) \\ (2)(2) - (-5)(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

直線の方程式: $4(x-1) + 1(y-3) - 1(z-2) = 0 \implies 4x + y - z - 5 = 0$

パラメータ表示: $x = s + t + 1, y = -4s + 2, z = 3s + t$.

4. $\frac{x-1}{2} = \frac{y-8}{1} = \frac{z-8}{3} = t$

$x = 2t + 1, y = t + 8, z = 3t + 8$

$xy$ 平面: $z = 0 \implies 3t + 8 = 0 \implies t = -8/3$

$x = 2(-8/3) + 1 = -13/3, y = -8/3 + 8 = 16/3$

交点: $(-13/3, 16/3, 0)$

$yz$ 平面: $x = 0 \implies 2t + 1 = 0 \implies t = -1/2$

$y = -1/2 + 8 = 15/2, z = 3(-1/2) + 8 = 13/2$

交点: $(0, 15/2, 13/2)$

$zx$ 平面: $y = 0 \implies t + 8 = 0 \implies t = -8$

$x = 2(-8) + 1 = -15, z = 3(-8) + 8 = -16$

交点: $(-15, 0, -16)$

5. $\frac{x}{3} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1} = s$, $\frac{x-1}{2} = \frac{y+4}{5} = \frac{z-2}{-1} = t$

$x = 3s, y = s, z = s$

$x = 2t + 1, y = 5t - 4, z = -t + 2$

$3s = 2t + 1, s = 5t - 4, s = -t + 2$

$5t - 4 = -t + 2 \implies 6t = 6 \implies t = 1$

$s = -1 + 2 = 1$

$3s = 3, 2t+1=3$.

$x = 3, y = 1, z = 1$

交点: $(3, 1, 1)$

3. 最終的な答え

1. (1) $2\sqrt{2}$

(2) 4

(3) $\begin{pmatrix} -1/\sqrt{2} \\ -1/\sqrt{2} \\ 0 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} \\ 0 \end{pmatrix}$

2. (1) 直線の方程式: $\frac{x-1}{-2} = \frac{y-2}{0} = \frac{z-3}{3}$, パラメータ表示: $x = 1 - 2t, y = 2, z = 3 + 3t$

(2) 直線の方程式: $\frac{x-3}{-7} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-3}{4}$, パラメータ表示: $x = 3 - 7t, y = 2 + 2t, z = 3 + 4t$

(3) 直線の方程式: $x=1, \frac{y-3}{-6} = \frac{z-3}{0}$, パラメータ表示: $x = 1, y = 3 - 6t, z = 3$

3. 直線の方程式: $4x + y - z - 5 = 0$, パラメータ表示: $x = s + t + 1, y = -4s + 2, z = 3s + t$.

4. $xy$ 平面: $(-13/3, 16/3, 0)$, $yz$ 平面: $(0, 15/2, 13/2)$, $zx$ 平面: $(-15, 0, -16)$

5. 交わる。交点: $(3, 1, 1)$