$a$を定数とする。円$C: x^2 + y^2 - 4ax + (4a - 2)y - 12a - 9 = 0$について、以下の問いに答える。 (1) 円$C$の中心と半径を求め、円$C$が$a$の値によらず通る2点の座標を求める。 (2) $a$の値が変化するとき、円$C$の中心が描く直線の式を求める。 (3) 円$C$の半径が最小となるときの$a$の値と、そのときの円$C$の半径を求め、その円を$C_0$とする。さらに、円$C_0$の接線で、傾きが7である直線の方程式を求める。

1. 問題の内容

$a$を定数とする。円$C: x^2 + y^2 - 4ax + (4a - 2)y - 12a - 9 = 0$について、以下の問いに答える。

(1) 円$C$の中心と半径を求め、円$C$が$a$の値によらず通る2点の座標を求める。

(2) $a$の値が変化するとき、円$C$の中心が描く直線の式を求める。

(3) 円$C$の半径が最小となるときの$a$の値と、そのときの円$C$の半径を求め、その円を$C_0$とする。さらに、円$C_0$の接線で、傾きが7である直線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 円の方程式を平方完成する。

\begin{align*}

x^2 - 4ax + y^2 + (4a - 2)y - 12a - 9 &= 0 \\

(x - 2a)^2 - (2a)^2 + (y + 2a - 1)^2 - (2a - 1)^2 - 12a - 9 &= 0 \\

(x - 2a)^2 + (y + 2a - 1)^2 &= 4a^2 + 4a^2 - 4a + 1 + 12a + 9 \\

(x - 2a)^2 + (y + 2a - 1)^2 &= 8a^2 + 8a + 10

\end{align*}

したがって、円$C$の中心は$(2a, -2a + 1)$、半径は$\sqrt{8a^2 + 8a + 10}$である。

円$C$が常に通る点は、$a$の値に関わらず方程式が成り立つ点である。

$x^2 + y^2 - 4ax + (4a - 2)y - 12a - 9 = 0$を$a$について整理すると

$-4ax + 4ay - 12a + x^2 + y^2 - 2y - 9 = 0$

$a(-4x + 4y - 12) + x^2 + y^2 - 2y - 9 = 0$

これが任意の$a$について成立するためには、

$-4x + 4y - 12 = 0$かつ$x^2 + y^2 - 2y - 9 = 0$

$x - y + 3 = 0$より$x = y - 3$

$(y - 3)^2 + y^2 - 2y - 9 = 0$

$y^2 - 6y + 9 + y^2 - 2y - 9 = 0$

$2y^2 - 8y = 0$

$2y(y - 4) = 0$

$y = 0, 4$

$y = 0$のとき、$x = -3$

$y = 4$のとき、$x = 1$

よって、円$C$は2点$(-3, 0), (1, 4)$を通る。

(2) 円$C$の中心は$(2a, -2a + 1)$である。$x = 2a$とおくと、$a = \frac{x}{2}$。

$y = -2a + 1 = -2(\frac{x}{2}) + 1 = -x + 1$

したがって、円$C$の中心は直線$y = -x + 1$上を動く。

(3) 円$C$の半径は$\sqrt{8a^2 + 8a + 10}$である。半径が最小となるのは、$8a^2 + 8a + 10$が最小となるときである。

$8a^2 + 8a + 10 = 8(a^2 + a) + 10 = 8(a + \frac{1}{2})^2 - 8(\frac{1}{4}) + 10 = 8(a + \frac{1}{2})^2 - 2 + 10 = 8(a + \frac{1}{2})^2 + 8$

したがって、$a = -\frac{1}{2}$のとき最小値$8$をとる。このときの半径は$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

円$C_0$の方程式は、中心が$(2a, -2a + 1) = (-1, 2)$、半径が$2\sqrt{2}$であるから、

$(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 8$

傾きが7の接線の方程式を$y = 7x + b$とおく。円の中心からの距離が半径に等しいから、

$\frac{|7(-1) - 2 + b|}{\sqrt{7^2 + (-1)^2}} = 2\sqrt{2}$

$\frac{|-9 + b|}{\sqrt{50}} = 2\sqrt{2}$

$|-9 + b| = 2\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2} = 20$

$-9 + b = 20$または$-9 + b = -20$

$b = 29$または$b = -11$

したがって、円$C_0$の接線で、傾きが7である直線の方程式は$y = 7x + 29$と$y = 7x - 11$である。

3. 最終的な答え

(1) 中心: $(2a, -2a + 1)$、半径: $\sqrt{8a^2 + 8a + 10}$、通る点: $(-3, 0), (1, 4)$

(2) $y = -x + 1$

(3) $a = -\frac{1}{2}$のとき最小値$2\sqrt{2}$、接線の方程式: $y = 7x + 29$と$y = 7x - 11$