大きさが1で互いに直交する2つのベクトル$\vec{p}, \vec{q}$がある。ベクトル$a\vec{p} + b\vec{q} (a>0)$は大きさが1で、ベクトル$\vec{p}+\vec{q}$とのなす角が$60^\circ$であるとする。このとき、$a$と$b$を求めよ。

1. 問題の内容

大きさが1で互いに直交する2つのベクトル$\vec{p}, \vec{q}$がある。ベクトル$a\vec{p} + b\vec{q} (a>0)$は大きさが1で、ベクトル$\vec{p}+\vec{q}$とのなす角が$60^\circ$であるとする。このとき、$a$と$b$を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、ベクトル$a\vec{p} + b\vec{q}$の大きさが1であることから、

$$|a\vec{p} + b\vec{q}|^2 = 1$$

$\vec{p}$と$\vec{q}$が直交し、かつ大きさが1であることから、

$$a^2|\vec{p}|^2 + 2ab(\vec{p}\cdot\vec{q}) + b^2|\vec{q}|^2 = a^2 + b^2 = 1$$

次に、ベクトル$a\vec{p} + b\vec{q}$と$\vec{p} + \vec{q}$のなす角が$60^\circ$であることから、

$$\cos 60^\circ = \frac{(a\vec{p} + b\vec{q}) \cdot (\vec{p} + \vec{q})}{|a\vec{p} + b\vec{q}||\vec{p} + \vec{q}|} = \frac{a + b}{\sqrt{2}}$$

$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$なので、

$$\frac{a + b}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$$

$$a + b = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

$a = \frac{\sqrt{2}}{2} - b$を$a^2 + b^2 = 1$に代入すると、

$$(\frac{\sqrt{2}}{2} - b)^2 + b^2 = 1$$

$$\frac{1}{2} - \sqrt{2}b + b^2 + b^2 = 1$$

$$2b^2 - \sqrt{2}b - \frac{1}{2} = 0$$

$$4b^2 - 2\sqrt{2}b - 1 = 0$$

$$b = \frac{2\sqrt{2} \pm \sqrt{8 - 4(4)(-1)}}{8} = \frac{2\sqrt{2} \pm \sqrt{24}}{8} = \frac{2\sqrt{2} \pm 2\sqrt{6}}{8} = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{6}}{4}$$

$a > 0$より、$a = \frac{\sqrt{2}}{2} - b > 0$なので、 $b < \frac{\sqrt{2}}{2}$となる。

$b = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} > \frac{\sqrt{2}}{2}$より、これは不適。したがって、$b = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

$$a = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} = \frac{2\sqrt{2} - \sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$$

3. 最終的な答え

$a = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$, $b = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$