座標平面において、以下の2つの条件を満たす直線の方程式を求める。 (1) 点 $(3, -4)$ を通り、ベクトル $\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ に垂直な直線。 (2) 媒介変数表示された直線 $\begin{cases} x = 3t \\ y = 1 - t \end{cases}$ に垂直で、点 $(1, 2)$ を通る直線。

1. 問題の内容

座標平面において、以下の2つの条件を満たす直線の方程式を求める。

(1) 点 $(3, -4)$ を通り、ベクトル $\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ に垂直な直線。

(2) 媒介変数表示された直線 $\begin{cases} x = 3t \\ y = 1 - t \end{cases}$ に垂直で、点 $(1, 2)$ を通る直線。

2. 解き方の手順

(1) 点 $(3, -4)$ を通り、ベクトル $\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ に垂直な直線の方程式を求める。

直線上の任意の点を $(x, y)$ とすると、ベクトル $\begin{pmatrix} x - 3 \\ y + 4 \end{pmatrix}$ は直線に平行なベクトルである。$\vec{n}$ が直線に垂直なので、これらのベクトルの内積は0になる。

したがって、

$2(x - 3) - 1(y + 4) = 0$

$2x - 6 - y - 4 = 0$

$2x - y - 10 = 0$

(2) 媒介変数表示された直線 $\begin{cases} x = 3t \\ y = 1 - t \end{cases}$ に垂直で、点 $(1, 2)$ を通る直線の方程式を求める。

まず、与えられた直線の方向ベクトルを求める。媒介変数 $t$ の係数から、方向ベクトルは $\vec{d} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}$ となる。

求める直線はこのベクトルに垂直なので、求める直線の法線ベクトルは $\vec{n} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}$ となる。

求める直線の方程式は、点 $(1, 2)$ を通り、法線ベクトルが $\vec{n} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}$ であるから、

$3(x - 1) - 1(y - 2) = 0$

$3x - 3 - y + 2 = 0$

$3x - y - 1 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $2x - y - 10 = 0$

(2) $3x - y - 1 = 0$