2つの直線 $ax + by + c = 0$ と $a'x + b'y + c' = 0$ について、以下の2つの命題を証明する問題です。ただし、$b \neq 0$、$b' \neq 0$ とします。 * 2直線が平行 $\iff$ $ab' - ba' = 0$ * 2直線が垂直 $\iff$ $aa' + bb' = 0$

1. 問題の内容

2つの直線 $ax + by + c = 0$ と $a'x + b'y + c' = 0$ について、以下の2つの命題を証明する問題です。ただし、$b \neq 0$、$b' \neq 0$ とします。

* 2直線が平行 $\iff$ $ab' - ba' = 0$

* 2直線が垂直 $\iff$ $aa' + bb' = 0$

2. 解き方の手順

**平行条件の証明**

2直線の傾きを比較します。

$ax + by + c = 0$ を変形すると、

$$y = -\frac{a}{b}x - \frac{c}{b}$$

となり、この直線の傾きは $-\frac{a}{b}$ です。

同様に、$a'x + b'y + c' = 0$ を変形すると、

$$y = -\frac{a'}{b'}x - \frac{c'}{b'}$$

となり、この直線の傾きは $-\frac{a'}{b'}$ です。

2直線が平行である条件は、それぞれの傾きが等しいことなので、

$$-\frac{a}{b} = -\frac{a'}{b'}$$

これを変形すると、

$$\frac{a}{b} = \frac{a'}{b'}$$

$$ab' = a'b$$

$$ab' - a'b = 0$$

$$ab' - ba' = 0$$

したがって、2直線が平行 $\iff$ $ab' - ba' = 0$ が証明されました。

**垂直条件の証明**

2直線が垂直である条件は、それぞれの傾きの積が -1 となることです。

$$\left( -\frac{a}{b} \right) \left( -\frac{a'}{b'} \right) = -1$$

$$\frac{aa'}{bb'} = -1$$

$$aa' = -bb'$$

$$aa' + bb' = 0$$

したがって、2直線が垂直 $\iff$ $aa' + bb' = 0$ が証明されました。

3. 最終的な答え

* 2直線が平行 $\iff$ $ab' - ba' = 0$

* 2直線が垂直 $\iff$ $aa' + bb' = 0$