2つの直線 $ax + by + c = 0$ と $a'x + b'y + c' = 0$ について、以下の2つの命題を証明する。ただし、$b \ne 0$ かつ $b' \ne 0$ とする。 (1) 2直線が平行 $\Leftrightarrow$ $ab' - ba' = 0$ (2) 2直線が垂直 $\Leftrightarrow$ $aa' + bb' = 0$

1. 問題の内容

2つの直線 $ax + by + c = 0$ と $a'x + b'y + c' = 0$ について、以下の2つの命題を証明する。ただし、$b \ne 0$ かつ $b' \ne 0$ とする。

(1) 2直線が平行 $\Leftrightarrow$ $ab' - ba' = 0$

(2) 2直線が垂直 $\Leftrightarrow$ $aa' + bb' = 0$

2. 解き方の手順

(1) 2直線が平行のとき

2直線の式を $y$ について解く。

$ax + by + c = 0$ より

$y = -\frac{a}{b}x - \frac{c}{b}$

$a'x + b'y + c' = 0$ より

$y = -\frac{a'}{b'}x - \frac{c'}{b'}$

2直線が平行であるための条件は、傾きが等しいことなので、

$-\frac{a}{b} = -\frac{a'}{b'}$

これを変形すると、

$\frac{a}{b} = \frac{a'}{b'}$

$ab' = a'b$

$ab' - a'b = 0$

$ab' - ba' = 0$

逆に、$ab' - ba' = 0$ とすると、

$ab' = ba'$

$\frac{a}{b} = \frac{a'}{b'}$

$-\frac{a}{b} = -\frac{a'}{b'}$

これは2直線の傾きが等しいことを意味するので、2直線は平行である。

したがって、2直線が平行 $\Leftrightarrow$ $ab' - ba' = 0$ が成り立つ。

(2) 2直線が垂直のとき

2直線の式を $y$ について解く。

$ax + by + c = 0$ より

$y = -\frac{a}{b}x - \frac{c}{b}$

$a'x + b'y + c' = 0$ より

$y = -\frac{a'}{b'}x - \frac{c'}{b'}$

2直線が垂直であるための条件は、傾きの積が-1になることなので、

$(-\frac{a}{b})(-\frac{a'}{b'}) = -1$

$\frac{aa'}{bb'} = -1$

$aa' = -bb'$

$aa' + bb' = 0$

逆に、$aa' + bb' = 0$ とすると、

$aa' = -bb'$

$\frac{aa'}{bb'} = -1$

$(-\frac{a}{b})(-\frac{a'}{b'}) = -1$

これは2直線の傾きの積が-1になることを意味するので、2直線は垂直である。

したがって、2直線が垂直 $\Leftrightarrow$ $aa' + bb' = 0$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) 2直線が平行 $\Leftrightarrow$ $ab' - ba' = 0$

(2) 2直線が垂直 $\Leftrightarrow$ $aa' + bb' = 0$