2つの直線 $\frac{x}{3} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1}$ と $\frac{x-1}{2} = \frac{y+4}{5} = \frac{z-2}{-1}$ が交わるかどうかを判定し、交わる場合はその座標を求める。

1. 問題の内容

2つの直線 $\frac{x}{3} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1}$ と $\frac{x-1}{2} = \frac{y+4}{5} = \frac{z-2}{-1}$ が交わるかどうかを判定し、交わる場合はその座標を求める。

2. 解き方の手順

まず、2つの直線をパラメータ表示する。

直線1: $\frac{x}{3} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1} = s$ とすると、

$x = 3s$, $y = s$, $z = s$

直線2: $\frac{x-1}{2} = \frac{y+4}{5} = \frac{z-2}{-1} = t$ とすると、

$x = 2t + 1$, $y = 5t - 4$, $z = -t + 2$

2つの直線が交わる場合、ある $s$ と $t$ に対して、

$3s = 2t + 1$

$s = 5t - 4$

$s = -t + 2$

これらの連立方程式を解く。

$s = 5t - 4$ と $s = -t + 2$ より、

$5t - 4 = -t + 2$

$6t = 6$

$t = 1$

$t = 1$ を $s = -t + 2$ に代入すると、

$s = -1 + 2 = 1$

$s = 1$ と $t = 1$ をそれぞれの方程式に代入して確認する。

直線1: $x = 3(1) = 3$, $y = 1$, $z = 1$

直線2: $x = 2(1) + 1 = 3$, $y = 5(1) - 4 = 1$, $z = -(1) + 2 = 1$

したがって、2つの直線は交わり、交点の座標は $(3, 1, 1)$ である。

3. 最終的な答え

2つの直線は交わり、交点の座標は $(3, 1, 1)$ である。