空間内の直線 $\frac{x-1}{2} = \frac{y-8}{1} = \frac{z-8}{3}$ と $xy$ 平面、$yz$ 平面、$zx$ 平面との交点の座標を求める。

1. 問題の内容

空間内の直線 $\frac{x-1}{2} = \frac{y-8}{1} = \frac{z-8}{3}$ と $xy$ 平面、$yz$ 平面、$zx$ 平面との交点の座標を求める。

2. 解き方の手順

直線の式を $t$ を用いて媒介変数表示する。

$\frac{x-1}{2} = \frac{y-8}{1} = \frac{z-8}{3} = t$ とすると、

$x = 2t + 1$

$y = t + 8$

$z = 3t + 8$

$xy$ 平面との交点は $z = 0$ のときなので、

$3t + 8 = 0$

$t = -\frac{8}{3}$

このとき、

$x = 2(-\frac{8}{3}) + 1 = -\frac{16}{3} + 1 = -\frac{13}{3}$

$y = -\frac{8}{3} + 8 = -\frac{8}{3} + \frac{24}{3} = \frac{16}{3}$

よって、$xy$ 平面との交点は $(-\frac{13}{3}, \frac{16}{3}, 0)$

$yz$ 平面との交点は $x = 0$ のときなので、

$2t + 1 = 0$

$t = -\frac{1}{2}$

このとき、

$y = -\frac{1}{2} + 8 = \frac{15}{2}$

$z = 3(-\frac{1}{2}) + 8 = -\frac{3}{2} + \frac{16}{2} = \frac{13}{2}$

よって、$yz$ 平面との交点は $(0, \frac{15}{2}, \frac{13}{2})$

$zx$ 平面との交点は $y = 0$ のときなので、

$t + 8 = 0$

$t = -8$

このとき、

$x = 2(-8) + 1 = -16 + 1 = -15$

$z = 3(-8) + 8 = -24 + 8 = -16$

よって、$zx$ 平面との交点は $(-15, 0, -16)$

3. 最終的な答え

$xy$ 平面との交点：$(-\frac{13}{3}, \frac{16}{3}, 0)$

$yz$ 平面との交点：$(0, \frac{15}{2}, \frac{13}{2})$

$zx$ 平面との交点：$(-15, 0, -16)$