媒介変数 $t$ で表された直線 $l: \begin{cases} x = -2+2t \\ y = 5-t \\ z = -2t \end{cases}$ について、直線 $l$ 上の点と原点 $O$ との距離を $d$ とする。 (1) 距離 $d$ を $t$ を用いて表せ。 (2) 距離 $d$ が最小となる $t$ とそのときの距離を求めよ。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ で表された直線 $l: \begin{cases} x = -2+2t \\ y = 5-t \\ z = -2t \end{cases}$ について、直線 $l$ 上の点と原点 $O$ との距離を $d$ とする。

(1) 距離 $d$ を $t$ を用いて表せ。

(2) 距離 $d$ が最小となる $t$ とそのときの距離を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $l$ 上の点を $P(x, y, z)$ とすると、$P(-2+2t, 5-t, -2t)$ と表せる。原点 $O(0, 0, 0)$ と点 $P$ との距離 $d$ は、

$d = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ で与えられるので、これを $t$ で表す。

$d = \sqrt{(-2+2t)^2 + (5-t)^2 + (-2t)^2} = \sqrt{4 - 8t + 4t^2 + 25 - 10t + t^2 + 4t^2} = \sqrt{9t^2 - 18t + 29}$

(2) 距離 $d$ が最小となる $t$ を求めるには、$d^2 = 9t^2 - 18t + 29$ が最小となる $t$ を求めればよい。$d^2$ は $t$ の二次関数であるから、平方完成して最小値を求める。

$d^2 = 9(t^2 - 2t) + 29 = 9(t^2 - 2t + 1 - 1) + 29 = 9(t-1)^2 - 9 + 29 = 9(t-1)^2 + 20$

したがって、$t=1$ のとき、$d^2$ は最小値 $20$ をとる。

このとき、$d = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) $d = \sqrt{9t^2 - 18t + 29}$

(2) $t = 1$, $d = 2\sqrt{5}$