(1) 2点 $(1, -2)$ と $(7, 2)$ を結ぶ線分を直径とする円の方程式を求める。 (2) 2点 $(3, -2, 1)$ と $(1, 4, -5)$ を結ぶ線分を直径とする球面の方程式を求める。

1. 問題の内容

(1) 2点 $(1, -2)$ と $(7, 2)$ を結ぶ線分を直径とする円の方程式を求める。

(2) 2点 $(3, -2, 1)$ と $(1, 4, -5)$ を結ぶ線分を直径とする球面の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 円の方程式を求める。

まず、円の中心を求める。中心は直径の中点なので、2点の座標の平均を取る。

$$(\frac{1+7}{2}, \frac{-2+2}{2}) = (4, 0)$$

次に、円の半径を求める。半径は中心から円周上の点までの距離なので、中心 $(4, 0)$ と点 $(1, -2)$ の距離を計算する。

$$r = \sqrt{(4-1)^2 + (0-(-2))^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}$$

円の方程式は $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ で表される。ここで、$(a, b)$ は中心の座標、 $r$ は半径である。

したがって、円の方程式は $(x-4)^2 + (y-0)^2 = (\sqrt{13})^2$ となる。

(2) 球面の方程式を求める。

まず、球面の中心を求める。中心は直径の中点なので、2点の座標の平均を取る。

$$(\frac{3+1}{2}, \frac{-2+4}{2}, \frac{1+(-5)}{2}) = (2, 1, -2)$$

次に、球面の半径を求める。半径は中心から球面上の点までの距離なので、中心 $(2, 1, -2)$ と点 $(3, -2, 1)$ の距離を計算する。

$$r = \sqrt{(2-3)^2 + (1-(-2))^2 + (-2-1)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + (-3)^2} = \sqrt{1+9+9} = \sqrt{19}$$

球面の方程式は $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2$ で表される。ここで、$(a, b, c)$ は中心の座標、 $r$ は半径である。

したがって、球面の方程式は $(x-2)^2 + (y-1)^2 + (z+2)^2 = (\sqrt{19})^2$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $(x-4)^2 + y^2 = 13$

(2) $(x-2)^2 + (y-1)^2 + (z+2)^2 = 19$