2直線 $3x - 4y + 5 = 0$ と $2x + y - 4 = 0$ の交点を通る直線の方程式を求める問題です。 (1) 直線 $2x + 3y = 0$ に平行な直線 (2) 直線 $2x + 3y = 0$ に垂直な直線 のそれぞれの方程式を求める必要があります。

1. 問題の内容

2直線 $3x - 4y + 5 = 0$ と $2x + y - 4 = 0$ の交点を通る直線の方程式を求める問題です。

(1) 直線 $2x + 3y = 0$ に平行な直線

(2) 直線 $2x + 3y = 0$ に垂直な直線

のそれぞれの方程式を求める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、2直線 $3x - 4y + 5 = 0$ と $2x + y - 4 = 0$ の交点の座標を求めます。

連立方程式を解きます。

$3x - 4y + 5 = 0$ (1)

$2x + y - 4 = 0$ (2)

(2)式より、

$y = 4 - 2x$

これを(1)式に代入します。

$3x - 4(4 - 2x) + 5 = 0$

$3x - 16 + 8x + 5 = 0$

$11x - 11 = 0$

$11x = 11$

$x = 1$

$x = 1$ を (2)式に代入します。

$2(1) + y - 4 = 0$

$2 + y - 4 = 0$

$y - 2 = 0$

$y = 2$

したがって、交点の座標は $(1, 2)$ です。

(1) 直線 $2x + 3y = 0$ に平行な直線を求めます。

平行な直線の傾きは等しいので、$2x + 3y = 0$ を変形して傾きを求めます。

$3y = -2x$

$y = -\frac{2}{3}x$

傾きは $-\frac{2}{3}$ です。

求める直線は、傾きが $-\frac{2}{3}$ で、点 $(1, 2)$ を通るので、直線の方程式は

$y - 2 = -\frac{2}{3}(x - 1)$

$3(y - 2) = -2(x - 1)$

$3y - 6 = -2x + 2$

$2x + 3y - 8 = 0$

(2) 直線 $2x + 3y = 0$ に垂直な直線を求めます。

垂直な直線の傾きの積は $-1$ なので、$2x + 3y = 0$ の傾き $-\frac{2}{3}$ との積が $-1$ になる傾きを求めます。

$-\frac{2}{3} \times m = -1$

$m = \frac{3}{2}$

求める直線は、傾きが $\frac{3}{2}$ で、点 $(1, 2)$ を通るので、直線の方程式は

$y - 2 = \frac{3}{2}(x - 1)$

$2(y - 2) = 3(x - 1)$

$2y - 4 = 3x - 3$

$3x - 2y + 1 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $2x + 3y - 8 = 0$

(2) $3x - 2y + 1 = 0$