点 $(1, 3, 2)$ を通り、ベクトル $\begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix}$ および $\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}$ の両方に垂直な直線の方程式を求めます。

1. 問題の内容

点 $(1, 3, 2)$ を通り、ベクトル $\begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix}$ および $\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}$ の両方に垂直な直線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

求める直線は、与えられた2つのベクトルに垂直である必要があります。したがって、直線の方向ベクトルは、与えられた2つのベクトルの外積に平行です。

まず、2つのベクトルの外積を計算します。

$\begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-5)(-2) - (3)(2) \\ (3)(-1) - (2)(-2) \\ (2)(2) - (-5)(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 - 6 \\ -3 + 4 \\ 4 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

したがって、直線の方向ベクトルは $\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ となります。

点 $(1, 3, 2)$ を通り、方向ベクトルが $\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ である直線のパラメータ方程式は次のようになります。

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

または、個別の式で表すと、

$x = 1 + 4t$

$y = 3 + t$

$z = 2 - t$

3. 最終的な答え

パラメータ表示された直線の方程式は次のとおりです。

$x = 1 + 4t$

$y = 3 + t$

$z = 2 - t$