2点 $A(a, b)$ と $B(b, a)$ が、直線 $y = x$ に関して対称であることを示す。ただし、$a \neq b$ とする。

1. 問題の内容

2点 $A(a, b)$ と $B(b, a)$ が、直線 $y = x$ に関して対称であることを示す。ただし、$a \neq b$ とする。

2. 解き方の手順

2点が直線 $y = x$ に関して対称であることを示すには、以下の2つの条件を満たすことを示す必要がある。

(1) 線分ABの中点が直線 $y = x$ 上にある。

(2) 線分ABと直線 $y = x$ が垂直に交わる。

(1) 線分ABの中点をMとする。点Mの座標は、

$M(\frac{a+b}{2}, \frac{b+a}{2})$

よって、点Mのx座標とy座標は等しいので、点Mは直線 $y = x$ 上にある。

(2) 線分ABの傾きをm1とする。

$m_1 = \frac{a - b}{b - a} = \frac{a - b}{-(a - b)} = -1$

直線 $y = x$ の傾きをm2とする。

$m_2 = 1$

$m_1 \times m_2 = -1 \times 1 = -1$

よって、線分ABと直線 $y = x$ は垂直に交わる。

上記(1)(2)より、2点 $A(a, b)$ と $B(b, a)$ は、直線 $y = x$ に関して対称である。

3. 最終的な答え

2点 $A(a, b)$ と $B(b, a)$ は、直線 $y = x$ に関して対称である。