座標空間において、以下の図形の方程式を求める問題です。 (1) 点 $(4, -2, 3)$ を通り、直線 $\frac{x+1}{3} = \frac{y-1}{4} = \frac{z}{5}$ に平行な直線の方程式。 (2) 点 $(4, -2, 3)$ を通り、直線 $\frac{x+1}{2} = y-1 = \frac{z}{-4}$ に垂直な平面の方程式。 (3) 点 $(1, 3, 2)$ を通り、平面 $x + 6y + 3z - 2 = 0$ に平行な平面の方程式。

1. 問題の内容

座標空間において、以下の図形の方程式を求める問題です。

(1) 点 $(4, -2, 3)$ を通り、直線 $\frac{x+1}{3} = \frac{y-1}{4} = \frac{z}{5}$ に平行な直線の方程式。

(2) 点 $(4, -2, 3)$ を通り、直線 $\frac{x+1}{2} = y-1 = \frac{z}{-4}$ に垂直な平面の方程式。

(3) 点 $(1, 3, 2)$ を通り、平面 $x + 6y + 3z - 2 = 0$ に平行な平面の方程式。

2. 解き方の手順

(1) 点 $(4, -2, 3)$ を通り、直線 $\frac{x+1}{3} = \frac{y-1}{4} = \frac{z}{5}$ に平行な直線の方程式を求めます。

与えられた直線に平行なので、方向ベクトルは $(3, 4, 5)$ となります。

したがって、求める直線の方程式は

$\frac{x-4}{3} = \frac{y+2}{4} = \frac{z-3}{5}$

となります。

(2) 点 $(4, -2, 3)$ を通り、直線 $\frac{x+1}{2} = y-1 = \frac{z}{-4}$ に垂直な平面の方程式を求めます。

与えられた直線に垂直なので、平面の法線ベクトルは $(2, 1, -4)$ となります。

したがって、求める平面の方程式は

$2(x-4) + 1(y+2) - 4(z-3) = 0$

$2x - 8 + y + 2 - 4z + 12 = 0$

$2x + y - 4z + 6 = 0$

となります。

(3) 点 $(1, 3, 2)$ を通り、平面 $x + 6y + 3z - 2 = 0$ に平行な平面の方程式を求めます。

与えられた平面に平行なので、求める平面の方程式は $x + 6y + 3z + d = 0$ と表すことができます。

点 $(1, 3, 2)$ を通るので、

$1 + 6(3) + 3(2) + d = 0$

$1 + 18 + 6 + d = 0$

$25 + d = 0$

$d = -25$

したがって、求める平面の方程式は

$x + 6y + 3z - 25 = 0$

となります。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{x-4}{3} = \frac{y+2}{4} = \frac{z-3}{5}$

(2) $2x + y - 4z + 6 = 0$

(3) $x + 6y + 3z - 25 = 0$