台形ABCDが与えられており、ABはDCと平行、∠B=∠C=90°、AB = h cm、DC = 2h cm、BC = a cmである。この台形を辺DCを軸として回転させてできる立体の体積がV $cm^3$であるとき、hをπ, a, Vを使った式で表す。

1. 問題の内容

台形ABCDが与えられており、ABはDCと平行、∠B=∠C=90°、AB = h cm、DC = 2h cm、BC = a cmである。この台形を辺DCを軸として回転させてできる立体の体積がV $cm^3$であるとき、hをπ, a, Vを使った式で表す。

2. 解き方の手順

台形ABCDを辺DCを軸として回転させると、円柱と円錐を組み合わせた立体ができる。

円柱は、底面の半径がa cm、高さがh cmである。

円錐は、底面の半径がa cm、高さがh cmである。

円柱の体積 $V_1$ は、

$V_1 = π a^2 h$

円錐の体積 $V_2$ は、

$V_2 = \frac{1}{3} π a^2 h$

立体の体積Vは、円柱の体積と円錐の体積の和であるから、

$V = V_1 + V_2 = π a^2 h + \frac{1}{3} π a^2 h = \frac{4}{3} π a^2 h$

hについて解くと、

$V = \frac{4}{3} π a^2 h$

$3V = 4 π a^2 h$

$h = \frac{3V}{4 π a^2}$

3. 最終的な答え

$h = \frac{3V}{4 π a^2}$