直方体ABCD-EFGHにおいて、AB=3, AD=2, AE=1とする。∠DEB = θとおく。 (1) BD, DE, EBの長さを求めよ。 (2) cosθの値を求めよ。 (3) 三角形BDEの面積を求めよ。 (4) Aから三角形BDEに下ろした垂線の長さを求めよ。

1. 問題の内容

直方体ABCD-EFGHにおいて、AB=3, AD=2, AE=1とする。∠DEB = θとおく。

(1) BD, DE, EBの長さを求めよ。

(2) cosθの値を求めよ。

(3) 三角形BDEの面積を求めよ。

(4) Aから三角形BDEに下ろした垂線の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) BD, DE, EBの長さを求める。

BDは長方形ABCDの対角線なので、三平方の定理より、

$BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$

DEは直角三角形ADEの斜辺なので、三平方の定理より、

$DE = \sqrt{AD^2 + AE^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$

EBは直角三角形ABEの斜辺なので、三平方の定理より、

$EB = \sqrt{AB^2 + AE^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$

(2) cosθの値を求める。

余弦定理を三角形DEBに適用すると、

$BD^2 = DE^2 + EB^2 - 2 \cdot DE \cdot EB \cdot \cos{\theta}$

これより、

$\cos{\theta} = \frac{DE^2 + EB^2 - BD^2}{2 \cdot DE \cdot EB} = \frac{5 + 10 - 13}{2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \frac{2}{2 \sqrt{50}} = \frac{1}{\sqrt{50}} = \frac{1}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{10}$

(3) 三角形BDEの面積を求める。

$\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$なので、

$\sin^2{\theta} = 1 - \cos^2{\theta} = 1 - (\frac{\sqrt{2}}{10})^2 = 1 - \frac{2}{100} = 1 - \frac{1}{50} = \frac{49}{50}$

$\sin{\theta} = \sqrt{\frac{49}{50}} = \frac{7}{5\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{10}$

三角形BDEの面積Sは、

$S = \frac{1}{2} \cdot DE \cdot EB \cdot \sin{\theta} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{10} \cdot \frac{7\sqrt{2}}{10} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{50} \cdot \frac{7\sqrt{2}}{10} = \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{2} \cdot \frac{7\sqrt{2}}{10} = \frac{1}{2} \cdot \frac{70}{10} = \frac{7}{2}$

(4) Aから三角形BDEに下ろした垂線の長さを求める。

四面体ABDEの体積Vは、底面を三角形BDEとしたとき、高さが求める垂線の長さhとなる。

$V = \frac{1}{3} S h$

また、四面体ABDEの体積Vは、直方体から3つの三角錐を引くことでも求められる。四面体ABDEの体積は、直方体から、三角錐E-ABD、三角錐A-DEH、三角錐B-EFB'を引くことで求められる。ここでB'は、ABと平行で長さが3の線分の端点である。しかし、もっと簡単に、四面体ABDEを3つの直交する辺AE, AB, ADをもつ三角錐と見做すことができる。したがって、その体積は、

$V = \frac{1}{6} \cdot AE \cdot AB \cdot AD = \frac{1}{6} \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2 = 1$

よって、$1 = \frac{1}{3} \cdot \frac{7}{2} \cdot h$

$h = \frac{6}{7}$

3. 最終的な答え

(1) $BD = \sqrt{13}$, $DE = \sqrt{5}$, $EB = \sqrt{10}$

(2) $\cos{\theta} = \frac{\sqrt{2}}{10}$

(3) 三角形BDEの面積は $\frac{7}{2}$

(4) Aから三角形BDEに下ろした垂線の長さは $\frac{6}{7}$