一辺の長さが4の正四面体OABCに球が内接している。以下の値を求めよ。 (1) $\triangle OAB$の面積 $S_1$ (2) 正四面体OABCの体積 $V_1$ (3) 内接球の半径 $r$ (4) 内接球の表面積 $S_2$, 体積 $V_2$

1. 問題の内容

一辺の長さが4の正四面体OABCに球が内接している。以下の値を求めよ。

(1) $\triangle OAB$の面積 $S_1$

(2) 正四面体OABCの体積 $V_1$

(3) 内接球の半径 $r$

(4) 内接球の表面積 $S_2$, 体積 $V_2$

2. 解き方の手順

(1) $\triangle OAB$は一辺の長さが4の正三角形である。正三角形の面積は、$\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$で求められる。ここで、$a$は正三角形の一辺の長さである。

$S_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 16 = 4\sqrt{3}$

(2) 正四面体の体積は、$\frac{\sqrt{2}}{12}a^3$で求められる。ここで、$a$は正四面体の一辺の長さである。

$V_1 = \frac{\sqrt{2}}{12} \times 4^3 = \frac{\sqrt{2}}{12} \times 64 = \frac{16\sqrt{2}}{3}$

(3) 正四面体の内接球の半径は、体積 $V$ と表面積 $S$ を用いて、$r = \frac{3V}{S}$ で求められる。

正四面体の表面積 $S$ は、$S = 4 \times S_1 = 4 \times 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$

したがって、内接球の半径は、

$r = \frac{3V_1}{S} = \frac{3 \times \frac{16\sqrt{2}}{3}}{16\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{2}}{16\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

あるいは、正四面体の高さ $h$ は $h = \frac{\sqrt{6}}{3}a$ で求められ、内接球の半径 $r$ は $r = \frac{1}{4}h$ で求められる。

$h = \frac{\sqrt{6}}{3} \times 4 = \frac{4\sqrt{6}}{3}$

$r = \frac{1}{4}h = \frac{1}{4} \times \frac{4\sqrt{6}}{3} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

(4) 内接球の表面積は、$S_2 = 4\pi r^2$で求められる。

$S_2 = 4\pi (\frac{\sqrt{6}}{3})^2 = 4\pi \times \frac{6}{9} = \frac{8\pi}{3}$

内接球の体積は、$V_2 = \frac{4}{3}\pi r^3$で求められる。

$V_2 = \frac{4}{3}\pi (\frac{\sqrt{6}}{3})^3 = \frac{4}{3}\pi \times \frac{6\sqrt{6}}{27} = \frac{8\sqrt{6}\pi}{27}$

3. 最終的な答え

(1) $S_1 = 4\sqrt{3}$

(2) $V_1 = \frac{16\sqrt{2}}{3}$

(3) $r = \frac{\sqrt{6}}{3}$

(4) $S_2 = \frac{8\pi}{3}$, $V_2 = \frac{8\sqrt{6}\pi}{27}$