大小2つのサイコロを投げ、大きいサイコロの目を $m$、小さいサイコロの目を $n$ とする。方程式 $x^2 + y^2 - 2mx - 2ny + 40 = 0$ について、以下の問いに答える。 (a) $m^2 + n^2 \ge 40$ となる $m, n$ の組の数を求める。 (b) 方程式が1点を表す確率、円を表す確率を求める。 (c) 方程式が点(2, 3) を内部に含む円を表す確率を求める。

1. 問題の内容

大小2つのサイコロを投げ、大きいサイコロの目を $m$、小さいサイコロの目を $n$ とする。方程式 $x^2 + y^2 - 2mx - 2ny + 40 = 0$ について、以下の問いに答える。

(a) $m^2 + n^2 \ge 40$ となる $m, n$ の組の数を求める。

(b) 方程式が1点を表す確率、円を表す確率を求める。

(c) 方程式が点(2, 3) を内部に含む円を表す確率を求める。

2. 解き方の手順

(a) $m, n$ はサイコロの目なので、$1 \le m \le 6$、$1 \le n \le 6$ の整数である。$m^2 + n^2 \ge 40$ となる組を考える。

* $m = 6$ のとき、$36 + n^2 \ge 40$ より、$n^2 \ge 4$。よって、$n = 2, 3, 4, 5, 6$ の5通り。

* $m = 5$ のとき、$25 + n^2 \ge 40$ より、$n^2 \ge 15$。よって、$n = 4, 5, 6$ の3通り。

* $m = 4$ のとき、$16 + n^2 \ge 40$ より、$n^2 \ge 24$。よって、$n = 5, 6$ の2通り。

合計で $5 + 3 + 2 = 10$ 通り。

(b) 与えられた方程式を平方完成すると、

$(x - m)^2 + (y - n)^2 = m^2 + n^2 - 40$

方程式が1点を表すとき、$m^2 + n^2 - 40 = 0$ となる。$m^2 + n^2 = 40$ を満たす $m, n$ は、$m, n$ が整数のとき、$m = 2, n = 6$または$m=6, n=2$のみ。全部で$6\times6=36$通りあるうちの、2通りなので確率は$\frac{2}{36} = \frac{1}{18}$。

方程式が円を表すとき、$m^2 + n^2 - 40 > 0$ となる。すなわち、$m^2 + n^2 > 40$。これは (a) で $m^2 + n^2 \ge 40$ となる場合から、$m^2 + n^2 = 40$ となる場合を除いたものなので、10通りあった。全部で$6\times6=36$通りあるうちの、10通りなので確率は$\frac{10}{36} = \frac{5}{18}$。

(c) 円 $(x - m)^2 + (y - n)^2 = m^2 + n^2 - 40$ が点(2, 3) を内部に含むとき、

$(2 - m)^2 + (3 - n)^2 < m^2 + n^2 - 40$

$4 - 4m + m^2 + 9 - 6n + n^2 < m^2 + n^2 - 40$

$13 - 4m - 6n < -40$

$4m + 6n > 53$

$m, n$ は $1 \le m \le 6, 1 \le n \le 6$ の整数である。

* $m = 6$ のとき、$24 + 6n > 53$ より、$6n > 29$。よって、$n = 5, 6$ の2通り。

* $m = 5$ のとき、$20 + 6n > 53$ より、$6n > 33$。よって、$n = 6$ の1通り。

したがって、合計で $2 + 1 = 3$ 通り。

確率は $\frac{3}{36} = \frac{1}{12}$。

3. 最終的な答え

(a) 10 通り

(b) 1点を表す確率は $\frac{1}{18}$、円を表す確率は $\frac{5}{18}$

(c) 点(2, 3) を内部に含む円を表す確率は $\frac{1}{12}$