平行四辺形ABCDにおいて、辺ABを3:2に内分する点をP、対角線BDを2:5に内分する点をQとする。ベクトル$\vec{BA}=\vec{a}$、$\vec{BC}=\vec{c}$としたとき、3点P,Q,Cが一直線上にあることを証明する。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、辺ABを3:2に内分する点をP、対角線BDを2:5に内分する点をQとする。ベクトル$\vec{BA}=\vec{a}$、$\vec{BC}=\vec{c}$としたとき、3点P,Q,Cが一直線上にあることを証明する。

2. 解き方の手順

3点P,Q,Cが一直線上にあることを示すには、$\vec{PC}=k\vec{PQ}$となる実数$k$が存在することを示せば良い。

まず、$\vec{BP}$を$\vec{a}$で表す。点Pは辺ABを3:2に内分する点なので、

$\vec{BP} = \frac{2}{5}\vec{BA} = \frac{2}{5}\vec{a}$

次に、$\vec{BQ}$を$\vec{a}$と$\vec{c}$で表す。点Qは対角線BDを2:5に内分する点なので、

$\vec{BQ} = \frac{2}{7}\vec{BD}$

平行四辺形ABCDにおいて、$\vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AD} = \vec{BA} + \vec{BC} = \vec{a} + \vec{c}$だから、

$\vec{BQ} = \frac{2}{7}(\vec{a} + \vec{c}) = \frac{2}{7}\vec{a} + \frac{2}{7}\vec{c}$

$\vec{PC}$を$\vec{a}$と$\vec{c}$で表す。

$\vec{PC} = \vec{BC} - \vec{BP} = \vec{c} - \frac{2}{5}\vec{a} = -\frac{2}{5}\vec{a} + \vec{c}$

$\vec{PQ}$を$\vec{a}$と$\vec{c}$で表す。

$\vec{PQ} = \vec{BQ} - \vec{BP} = (\frac{2}{7}\vec{a} + \frac{2}{7}\vec{c}) - \frac{2}{5}\vec{a} = (\frac{2}{7} - \frac{2}{5})\vec{a} + \frac{2}{7}\vec{c} = (\frac{10-14}{35})\vec{a} + \frac{2}{7}\vec{c} = -\frac{4}{35}\vec{a} + \frac{2}{7}\vec{c}$

ここで、$\vec{PC} = k\vec{PQ}$となる実数$k$が存在すると仮定すると、

$-\frac{2}{5}\vec{a} + \vec{c} = k(-\frac{4}{35}\vec{a} + \frac{2}{7}\vec{c})$

$-\frac{2}{5}\vec{a} + \vec{c} = -\frac{4k}{35}\vec{a} + \frac{2k}{7}\vec{c}$

$\vec{a}$と$\vec{c}$は一次独立なので、

$-\frac{2}{5} = -\frac{4k}{35}$

$1 = \frac{2k}{7}$

これらの式から$k$を求める。

$k = \frac{35}{4} \times \frac{2}{5} = \frac{7}{2}$

$k = \frac{7}{2}$

よって、$\vec{PC} = \frac{7}{2}\vec{PQ}$となる実数$k = \frac{7}{2}$が存在するので、3点P,Q,Cは一直線上にある。

3. 最終的な答え

3点P,Q,Cは一直線上にある。