点 O(0, 0, 0), A(1, -1, 2), B(1, 1, 2), C(-1, 2, 0) が与えられています。点 O から 3 点 A, B, C を含む平面に下ろした垂線の足 H の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

点 O(0, 0, 0), A(1, -1, 2), B(1, 1, 2), C(-1, 2, 0) が与えられています。点 O から 3 点 A, B, C を含む平面に下ろした垂線の足 H の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

平面 ABC の方程式を求めます。平面上の任意の点を P(x, y, z) とすると、ベクトル AP, AB, AC は同一平面上にあります。したがって、これらのベクトルによって作られる行列式は 0 になります。

$$

\begin{vmatrix}

x-1 & y+1 & z-2 \\

1-1 & 1+1 & 2-2 \\

-1-1 & 2+1 & 0-2

\end{vmatrix} = 0

$$

$$

\begin{vmatrix}

x-1 & y+1 & z-2 \\

0 & 2 & 0 \\

-2 & 3 & -2

\end{vmatrix} = 0

$$

これを展開すると、

$$

(x-1)(2 \cdot (-2) - 0 \cdot 3) - (y+1)(0 \cdot (-2) - 0 \cdot (-2)) + (z-2)(0 \cdot 3 - 2 \cdot (-2)) = 0 \\

(x-1)(-4) - (y+1)(0) + (z-2)(4) = 0 \\

-4(x-1) + 4(z-2) = 0 \\

-4x + 4 + 4z - 8 = 0 \\

-4x + 4z - 4 = 0 \\

x - z + 1 = 0

$$

したがって、平面 ABC の方程式は $x - z + 1 = 0$ です。

次に、点 O(0, 0, 0) から平面 ABC に下ろした垂線の足 H(x, y, z) を求めます。OHベクトルは平面 ABC の法線ベクトルに平行です。平面 ABC の法線ベクトルは (1, 0, -1) です。したがって、OH = t(1, 0, -1) と表せます。

H(x, y, z) = (t, 0, -t)

点 H は平面 ABC 上にあるので、平面の方程式を満たします。

$t - (-t) + 1 = 0 \\

2t + 1 = 0 \\

2t = -1 \\

t = -\frac{1}{2}

$$

したがって、H の座標は $(-\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2})$ となります。

3. 最終的な答え

$H(-\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2})$