点A(1, 3), 点B(2, -1), 点C(-3, 4)を頂点とする三角形ABCの重心Gの位置ベクトル$\overrightarrow{OG}$を$\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$を用いて表し、点Gの座標を求める。

1. 問題の内容

点A(1, 3), 点B(2, -1), 点C(-3, 4)を頂点とする三角形ABCの重心Gの位置ベクトル$\overrightarrow{OG}$を$\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$を用いて表し、点Gの座標を求める。

2. 解き方の手順

三角形ABCの重心Gの位置ベクトル$\overrightarrow{OG}$は、$\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$を用いて次のように表される。

$$\overrightarrow{OG} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}}{3}$$

各点の座標から、位置ベクトルは次のようになる。

$\overrightarrow{OA} = (1, 3)$

$\overrightarrow{OB} = (2, -1)$

$\overrightarrow{OC} = (-3, 4)$

したがって、

$$\overrightarrow{OG} = \frac{(1, 3) + (2, -1) + (-3, 4)}{3} = \frac{(1+2-3, 3-1+4)}{3} = \frac{(0, 6)}{3} = (0, 2)$$

点Gの座標は位置ベクトルの成分に等しいので、G(0, 2)となる。

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{OG} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}}{3}$

点Gの座標: (0, 2)