直角三角形ABCにおいて、∠ABC = 90°であり、Gは三角形ABCの重心である。Dは直線AGと辺BCの交点、Eは直線CGと辺ABの交点である。BD = 3、DG = 2のとき、辺ACの長さを求める。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、∠ABC = 90°であり、Gは三角形ABCの重心である。Dは直線AGと辺BCの交点、Eは直線CGと辺ABの交点である。BD = 3、DG = 2のとき、辺ACの長さを求める。

2. 解き方の手順

* 重心の性質より、ADは中線であり、DはBCの中点である。したがって、BD = DCとなる。

$BC = BD + DC = 3 + 3 = 6$

* 重心Gは中線を2:1に内分するので、AG:GD = 2:1である。問題文より、DG = 2なので、AG = 4となる。

* 三角形ABCにおいて、∠ABC = 90°なので、三平方の定理より、$AC^2 = AB^2 + BC^2$が成り立つ。

* Eは重心を通る直線CGと辺ABの交点なので、EもABの中点となる。

* 中点連結定理より、DEはABの半分。

また、AE:EB = 1:1

$BE=\frac{1}{2}AB$

* メネラウスの定理を三角形BCDと直線AEGに適用する。

$\frac{BE}{EA} \cdot \frac{AG}{GD} \cdot \frac{DC}{CB} = 1$

$\frac{\frac{1}{2}AB}{\frac{1}{2}AB} \cdot \frac{4}{2} \cdot \frac{3}{6} = 1$

$1 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$

* 中線定理より、

$AB^2 + AC^2 = 2 (AD^2 + BD^2)$

$AD^2 = AG^2 + GD^2 - 2AG \cdot GD \cdot \cos{\angle AGD}$

$BD=3, BC=6$

* 三角形ABCにおいて、Gは重心なので、DはBCの中点となる。したがって、BD = DC = 3である。また、BG:GE=2:

1. $BG=\frac{2}{3}BE$

* 重心の性質から、中線BDはBCを二等分するので、BD = DC = 3である。

$BG=2x、 GD = x$とおくと、$BG:GD = 2:1$

問題より$GD=2$であるため、$BG=4$となる.

* $BC = 6$

$ABC$は直角三角形なので、$AB^2+BC^2 = AC^2$

$AB=x$とおくと$x^2+36 = AC^2$

* $BG/GD = 2$

$BG=4, GD=2$

$AB = 3 \sqrt{5}$

$AC=\sqrt{36+45} = \sqrt{81} = 9$

3. 最終的な答え

AC = 9