座標平面上に円K: $x^2 + y^2 - 8x = 0$ がある。 (1) 円Kの中心Cの座標と半径を求める。 (2) 点A(-1,0)を通り、傾きがa（aは正の定数）の直線lの方程式をa,x,yを用いて表す。また、直線lと円Kが接するときのaの値を求める。

1. 問題の内容

座標平面上に円K: $x^2 + y^2 - 8x = 0$ がある。

(1) 円Kの中心Cの座標と半径を求める。

(2) 点A(-1,0)を通り、傾きがa（aは正の定数）の直線lの方程式をa,x,yを用いて表す。また、直線lと円Kが接するときのaの値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 円Kの方程式を平方完成する。

$x^2 - 8x + y^2 = 0$

$(x - 4)^2 - 16 + y^2 = 0$

$(x - 4)^2 + y^2 = 16$

よって、中心Cの座標は(4,0)であり、半径は4である。

(2) 点A(-1,0)を通り、傾きがaの直線lの方程式は、

$y - 0 = a(x - (-1))$

$y = a(x + 1)$

$y = ax + a$

したがって、直線lの方程式は $ax - y + a = 0$ と表せる。

直線lと円Kが接するとき、円Kの中心C(4,0)と直線lの距離が半径4に等しい。点と直線の距離の公式より、

$\frac{|a(4) - 0 + a|}{\sqrt{a^2 + (-1)^2}} = 4$

$\frac{|5a|}{\sqrt{a^2 + 1}} = 4$

$|5a| = 4\sqrt{a^2 + 1}$

$25a^2 = 16(a^2 + 1)$

$25a^2 = 16a^2 + 16$

$9a^2 = 16$

$a^2 = \frac{16}{9}$

$a = \pm \frac{4}{3}$

aは正の定数なので、 $a = \frac{4}{3}$ である。

3. 最終的な答え

(1) 中心Cの座標：(4,0)

半径：4

(2) 直線lの方程式：$ax - y + a = 0$

aの値：$\frac{4}{3}$