点 $(1, 3, 2)$ を通り、ベクトル $\begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}$ の両方に垂直な直線の方程式とそのパラメータ表示を求める問題です。

1. 問題の内容

点 $(1, 3, 2)$ を通り、ベクトル $\begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}$ の両方に垂直な直線の方程式とそのパラメータ表示を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2つのベクトルに垂直なベクトルを求めます。これは、2つのベクトルの外積を計算することで得られます。

$v_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix}$

$v_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}$

外積 $v = v_1 \times v_2$ を計算します。

$v = \begin{pmatrix} (-5)(-2) - (3)(2) \\ (3)(-1) - (2)(-2) \\ (2)(2) - (-5)(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 - 6 \\ -3 + 4 \\ 4 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

したがって、直線はベクトル $\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ に平行です。

点 $(1, 3, 2)$ を通り、ベクトル $\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ に平行な直線のパラメータ表示は以下のようになります。

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

これは、以下のように書き直すことができます。

$x = 1 + 4t$

$y = 3 + t$

$z = 2 - t$

直線の方程式を求めるには、$t$ を消去します。

$t = y - 3$ なので、

$x = 1 + 4(y - 3) = 1 + 4y - 12$

$x = 4y - 11$

$4y = x + 11$

$y = \frac{1}{4}x + \frac{11}{4}$

また、$t = 2 - z$ なので、

$y = 3 + (2 - z) = 5 - z$

$z = 5 - y$

3. 最終的な答え

直線の方程式はパラメータ表示で

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

または

$x = 1 + 4t$

$y = 3 + t$

$z = 2 - t$

と表せます。