三角形ABCにおいて、点Gは重心、Dは直線BGと辺CAの交点、E, FはGを通り辺BCに平行な直線と辺AB, ACとの交点、Hは直線AGと辺BCの交点である。$\triangle ABC = 1$のとき、$\triangle BEG$の面積を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Gは重心、Dは直線BGと辺CAの交点、E, FはGを通り辺BCに平行な直線と辺AB, ACとの交点、Hは直線AGと辺BCの交点である。$\triangle ABC = 1$のとき、$\triangle BEG$の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

重心の性質より、AG:GH = 2:1。

EFはBCに平行なので、$\triangle AEF \sim \triangle ABC$。

AG:AH = AG:(AG+GH) = 2:(2+1) = 2:3。

相似比は2:3なので、面積比は$2^2:3^2 = 4:9$。

よって、$\triangle AEF = \frac{4}{9}\triangle ABC = \frac{4}{9}$。

重心の性質より、BGは$\angle ABC$の中線ではないので、EはABの中点とは限らない。しかし、BGの中線に関して考えると、BGの中点をIとすると、GI = IB。また、EF // BCなので、$\triangle BEG$と$\triangle GEF$の高さは共通である。

$\triangle BEG$の面積を求めるために、まず$\triangle ABH$の面積を考える。

AHは$\triangle ABC$の中線ではないので、BH = HCとは限らない。

Gは$\triangle ABC$の重心なので、中線上に存在する。

$\triangle ABG = \triangle BCG = \triangle CAG = \frac{1}{3} \triangle ABC = \frac{1}{3}$。

EF // BCより、$\triangle BEG$と$\triangle BCG$に着目すると、

$\frac{BE}{BA} = \frac{BG}{BH}$ではない。

EはAB上にあるので、$\triangle BEG$の面積を考える。

$\triangle AEG = \triangle AFG$である。

また、$\frac{BE}{EA} = \frac{CG}{GA}$であることは言えない。

AG:GH=2:1より、AH:AG = 3:2となるので、AG = (2/3)AH。

BGの延長線がACと交わる点をDとする。

$\triangle BEG$の面積をSとする。

$\triangle ABC$の面積が1なので、$\triangle ABG = \triangle BCG = \triangle CAG = 1/3$

また、$\triangle AEG = \frac{4}{9}$

$\triangle EBG: \triangle ABG = BE:AB$

$\frac{BE}{AB}=\frac{EG}{BC}=\frac{AG}{AH}=\frac{2}{3}$

$\triangle BEG = \frac{2}{3} \triangle ABG = \frac{2}{3} * \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$

3. 最終的な答え

$\triangle BEG = \frac{2}{9}$