母線の長さが1の直円錐の頂点をOとする。底円上に点Aをとり、線分OA上に$|OP| = p$ ($0 < p < 1$)を満たす点Pをとる。点Pから出発し、直円錐の側面を2周してAへ至る最短経路の途中に点Pがあるとき、その最短経路の長さを$p$によって表す。

1. 問題の内容

母線の長さが1の直円錐の頂点をOとする。底円上に点Aをとり、線分OA上に$|OP| = p$ ($0 < p < 1$)を満たす点Pをとる。点Pから出発し、直円錐の側面を2周してAへ至る最短経路の途中に点Pがあるとき、その最短経路の長さを$p$によって表す。

2. 解き方の手順

(1) 直円錐の展開図を考える。母線の長さが1であるから、展開図は半径1の扇形となる。点Aは底円上にあるので、展開図における点Aは扇形の円弧上に位置する。直円錐の側面を2周するので、展開図は扇形を2つ繋げた形になる。扇形の中心角を$\theta$とすると、底円の円周は$2 \pi r$ であり、母線の長さが1であるから、$2 \pi r = \theta$ となる。したがって、$\theta = 2 \pi r$ である。元の円錐の展開図を2つ繋げているので、展開図の中心角は$2\theta = 4 \pi r$となる。円錐の母線の長さは1なので、元の扇形の中心角は$2\pi r$であり、展開図では$4\pi r$になる。

$r$は底面の半径なので、$\theta=2\pi r$となる。元の円錐の展開図は、半径1、中心角$2\pi r$の扇形。

点Aは扇形の円弧上にあり、点Pは線分OA上に$OP = p$となるように存在する。

点Aから出発して2周した後、点Aに戻る。

点Pから出発して、円錐の側面を2周してAにたどり着く最短経路を考える。

展開図において、これは点Pから点Aへ至る線分に対応する。

(2) 展開図において、点Pから点Aへの最短経路を考える。点Pと点Aは同じ側面にある場合と、異なる側面にある場合を考える必要がある。この問題文の条件から、点Pを通過することから、Pは点Aから2周して戻ってくる経路の途上にあると考えられる。

座標を設定する。点Oを中心とし、点Aを$x$軸上に置く。点Aの座標は$(1, 0)$、点Pの座標は$(p, 0)$となる。円錐の側面を2周するので、点Aは展開図上に2つ存在することになる。点$A_1$の座標を$(1, 0)$、点$A_2$の座標を$(1, 4\pi r)$とする。点Pから点$A_2$への距離は、

$d = \sqrt{(1-p)^2 + (4\pi r)^2}$

この経路の途中にPがあるので、Aを4周して戻る場合はない。

ここで、$r$は底円の半径を表し、円錐の母線の長さは1であるから、$r = \frac{1}{2}$となる。なぜなら、円錐を広げた扇形の弧の長さは、底円の円周と等しいので、$2\pi \times 1 \times (\text{中心角}/2\pi) = 2\pi r$となるから、中心角$=2\pi r$となる。円錐の側面を2周するため、中心角は$2(2\pi r)=4\pi r$となる。円錐を展開した扇形の中心角が$2\pi$である場合、底円の半径は1になる。

したがって、$r = \frac{1}{4}$となる。

(3) 点Pから点Aへの最短距離は、展開図上で直線距離となる。点PからAへ円錐面を2周してたどり着くには、点Aを2つ用意する必要がある。点A1(1,0)と点A2(1, 4πr) とすると、PからA2までの距離を計算する必要がある。

$\theta=2\pi r$ より、$r=1/4$ なので、扇形の中心角は $2\pi (1/4)=\pi/2$ である。展開図では2周しているので、中心角は$\pi$となる。このとき、点PからAへの距離は、

$\sqrt{(1-p)^2 + (\pi)^2}$ となる。

3. 最終的な答え

$\sqrt{(1-p)^2 + \pi^2}$