点A(-3, 5)と点B(4, -9)が与えられている。線分ABを1:2に内分する点をP、線分ABを4:3に内分する点をQとする。ベクトル$\overrightarrow{OP}$, $\overrightarrow{OQ}$を$\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$を用いて表し、点P, Qの座標を求める。

1. 問題の内容

点A(-3, 5)と点B(4, -9)が与えられている。線分ABを1:2に内分する点をP、線分ABを4:3に内分する点をQとする。ベクトル$\overrightarrow{OP}$, $\overrightarrow{OQ}$を$\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$を用いて表し、点P, Qの座標を求める。

2. 解き方の手順

点Pは線分ABを1:2に内分するので、内分点の公式より、

$$\overrightarrow{OP} = \frac{2\overrightarrow{OA} + 1\overrightarrow{OB}}{1+2} = \frac{2}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$$

点Qは線分ABを4:3に内分するので、内分点の公式より、

$$\overrightarrow{OQ} = \frac{3\overrightarrow{OA} + 4\overrightarrow{OB}}{4+3} = \frac{3}{7}\overrightarrow{OA} + \frac{4}{7}\overrightarrow{OB}$$

点Aの座標は(-3, 5)、点Bの座標は(4, -9)である。

したがって、$\overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{OB} = \begin{pmatrix} 4 \\ -9 \end{pmatrix}$である。

$\overrightarrow{OP} = \frac{2}{3}\begin{pmatrix} -3 \\ 5 \end{pmatrix} + \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 4 \\ -9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ \frac{10}{3} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{4}{3} \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \end{pmatrix}$

よって、点Pの座標は$(-\frac{2}{3}, \frac{1}{3})$

$\overrightarrow{OQ} = \frac{3}{7}\begin{pmatrix} -3 \\ 5 \end{pmatrix} + \frac{4}{7}\begin{pmatrix} 4 \\ -9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{9}{7} \\ \frac{15}{7} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{16}{7} \\ -\frac{36}{7} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{7}{7} \\ -\frac{21}{7} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix}$

よって、点Qの座標は(1, -3)

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{OP} = \frac{2}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$

$\overrightarrow{OQ} = \frac{3}{7}\overrightarrow{OA} + \frac{4}{7}\overrightarrow{OB}$

点Pの座標は$(-\frac{2}{3}, \frac{1}{3})$

点Qの座標は$(1, -3)$