$a$を定数とする。円$C: x^2 + y^2 - 4ax + (4a-2)y - 12a - 9 = 0$について、以下の問いに答える。 (1) 円$C$の中心と半径を$a$を用いて表し、円$C$が$a$の値にかかわらず通る2点の座標を求める。 (2) $a$の値が変化するとき、円$C$の中心$P$が描く直線の式を求める。 (3) 円$C$の半径が最小となるときの$a$の値を求め、そのときの円$C$を$C_0$とおく。円$C_0$の接線のうち、傾きが7である直線の方程式を求める。

1. 問題の内容

$a$を定数とする。円$C: x^2 + y^2 - 4ax + (4a-2)y - 12a - 9 = 0$について、以下の問いに答える。

(1) 円$C$の中心と半径を$a$を用いて表し、円$C$が$a$の値にかかわらず通る2点の座標を求める。

(2) $a$の値が変化するとき、円$C$の中心$P$が描く直線の式を求める。

(3) 円$C$の半径が最小となるときの$a$の値を求め、そのときの円$C$を$C_0$とおく。円$C_0$の接線のうち、傾きが7である直線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1)

円$C$の方程式を平方完成する。

\begin{align*} \label{eq:1}x^2 - 4ax + y^2 + (4a-2)y - 12a - 9 &= 0 \\ (x^2 - 4ax + 4a^2) + (y^2 + (4a-2)y + (2a-1)^2) - 4a^2 - (2a-1)^2 - 12a - 9 &= 0 \\ (x - 2a)^2 + (y + 2a - 1)^2 &= 4a^2 + 4a^2 - 4a + 1 + 12a + 9 \\ (x - 2a)^2 + (y + 2a - 1)^2 &= 8a^2 + 8a + 10\end{align*}

したがって、円$C$の中心は$(2a, -2a+1)$、半径は$\sqrt{8a^2 + 8a + 10}$となる。

円$C$が$a$の値にかかわらず通る2点を求める。

$x^2 + y^2 - 4ax + (4a-2)y - 12a - 9 = 0$を$a$について整理すると

$(-4x + 4y - 12)a + x^2 + y^2 - 2y - 9 = 0$

これが任意の$a$について成り立つためには、

\begin{align*} -4x + 4y - 12 &= 0 \\ x^2 + y^2 - 2y - 9 &= 0 \end{align*}

上の式より、$y = x + 3$。これを下の式に代入すると

\begin{align*} x^2 + (x+3)^2 - 2(x+3) - 9 &= 0 \\ x^2 + x^2 + 6x + 9 - 2x - 6 - 9 &= 0 \\ 2x^2 + 4x - 6 &= 0 \\ x^2 + 2x - 3 &= 0 \\ (x+3)(x-1) &= 0 \end{align*}

よって、$x = -3, 1$。$y = x + 3$より、$x=-3$のとき$y=0$、$x=1$のとき$y=4$。

したがって、円$C$は$a$の値にかかわらず2点$(-3, 0), (1, 4)$を通る。

(2)

円$C$の中心$P$は$(2a, -2a+1)$である。$x = 2a, y = -2a + 1$より、$a = \frac{x}{2}$。

これを$y = -2a + 1$に代入すると、$y = -2(\frac{x}{2}) + 1 = -x + 1$。

したがって、円$C$の中心$P$は直線$y = -x + 1$上を動く。

(3)

円$C$の半径の2乗は$8a^2 + 8a + 10 = 8(a^2 + a) + 10 = 8(a^2 + a + \frac{1}{4}) - 8(\frac{1}{4}) + 10 = 8(a + \frac{1}{2})^2 - 2 + 10 = 8(a+\frac{1}{2})^2 + 8$

したがって、$a = -\frac{1}{2}$のとき、円$C$の半径は最小値$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$をとる。

このとき、円$C$の方程式は

$(x-2a)^2 + (y+2a-1)^2 = 8a^2 + 8a + 10$に$a = -\frac{1}{2}$を代入して

$(x+1)^2 + (y-2)^2 = 8(-\frac{1}{2})^2 + 8(-\frac{1}{2}) + 10 = 2 - 4 + 10 = 8$

$(x+1)^2 + (y-2)^2 = 8$。これが円$C_0$である。

円$C_0: (x+1)^2 + (y-2)^2 = 8$の接線のうち、傾きが7である直線の方程式を求める。

接線を$y = 7x + n$とおく。円の中心$(-1, 2)$と接線の距離は半径$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$に等しいから

$\frac{|7(-1) - 2 + n|}{\sqrt{7^2 + (-1)^2}} = 2\sqrt{2}$

$\frac{|-7 - 2 + n|}{\sqrt{50}} = 2\sqrt{2}$

$|n-9| = 2\sqrt{2}\sqrt{50} = 2\sqrt{100} = 20$

$n - 9 = \pm 20$

$n = 9 \pm 20$

$n = 29, -11$

したがって、接線の方程式は$y = 7x + 29$と$y = 7x - 11$。

3. 最終的な答え

(1) 中心: (2a, -2a+1)、半径: $\sqrt{8a^2 + 8a + 10}$、通る2点: Q(-3, 0), R(1, 4)

(2) y = -x + 1

(3) a = -1/2 のとき最小値 $2\sqrt{2}$。接線の方程式は y = 7x + 29 と y = 7x - 11