三角形ABCにおいて、点Gは重心であり、D, E, Fはそれぞれ直線AG, BG, CGと辺BC, CA, ABとの交点である。三角形ABCの面積が1であるとき、三角形DEFの面積を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Gは重心であり、D, E, Fはそれぞれ直線AG, BG, CGと辺BC, CA, ABとの交点である。三角形ABCの面積が1であるとき、三角形DEFの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

重心Gは三角形の各中線を2:1に内分する。

したがって、BD = DC, CE = EA, AF = FBとなる。つまり、D, E, FはそれぞれBC, CA, ABの中点である。

三角形ABCの面積をSとすると、

$S_{\triangle AEF} = S_{\triangle BDF} = S_{\triangle CDE} = \frac{1}{4}S$

したがって、$S_{\triangle DEF} = S_{\triangle ABC} - S_{\triangle AEF} - S_{\triangle BDF} - S_{\triangle CDE}$

$S_{\triangle DEF} = S - 3 \times \frac{1}{4}S = S - \frac{3}{4}S = \frac{1}{4}S$

問題文より、三角形ABCの面積は1なので、S = 1。

$S_{\triangle DEF} = \frac{1}{4} \times 1 = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

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