三角形ABCは$\angle ABC = 90^\circ$の直角三角形である。点Gは三角形ABCの重心であり、Dは直線AGと辺BCの交点、Eは直線CGと辺ABの交点である。$BD = 4$、$BE = 4$のとき、辺ACの長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCは$\angle ABC = 90^\circ$の直角三角形である。点Gは三角形ABCの重心であり、Dは直線AGと辺BCの交点、Eは直線CGと辺ABの交点である。$BD = 4$、$BE = 4$のとき、辺ACの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、Gが重心であることから、ADとCEはそれぞれ辺BCとABの中線を意味します。

したがって、$BD = DC = 4$なので、$BC = BD + DC = 4 + 4 = 8$です。

同様に、$BE = EA = 4$なので、$AB = BE + EA = 4 + 4 = 8$です。

三角形ABCは直角三角形なので、ピタゴラスの定理より、$AC^2 = AB^2 + BC^2$が成り立ちます。

$AC^2 = 8^2 + 8^2 = 64 + 64 = 128$

したがって、$AC = \sqrt{128} = \sqrt{64 \times 2} = 8\sqrt{2}$です。

3. 最終的な答え

$AC = 8\sqrt{2}$