点$(1, 3, 2)$を通り、ベクトル $\begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix}$と$\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}$に垂直な直線の方程式とそのパラメータ表示を求めよ。

1. 問題の内容

点$(1, 3, 2)$を通り、ベクトル $\begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix}$と$\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}$に垂直な直線の方程式とそのパラメータ表示を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた2つのベクトルに垂直なベクトルを求めるために、外積を計算します。

$\vec{v_1} = \begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix}$、$\vec{v_2} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}$とすると、$\vec{v_1}$と$\vec{v_2}$の外積$\vec{n}$は、

$\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-5)(-2) - (3)(2) \\ (3)(-1) - (2)(-2) \\ (2)(2) - (-5)(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 - 6 \\ -3 + 4 \\ 4 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

よって、求める直線の方向ベクトルは$\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$となります。

点$(1, 3, 2)$を通り、方向ベクトル$\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$を持つ直線のパラメータ表示は、

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 4t \\ 3 + t \\ 2 - t \end{pmatrix}$

パラメータ表示は、$x = 1 + 4t, y = 3 + t, z = 2 - t$です。

これらの式からパラメータ$t$を消去します。

$t = y - 3$ を $x = 1 + 4t$ に代入すると、$x = 1 + 4(y - 3) = 1 + 4y - 12$、すなわち $x = 4y - 11$が得られます。

$t = y - 3$ を $z = 2 - t$ に代入すると、$z = 2 - (y - 3) = 2 - y + 3$、すなわち $z = 5 - y$が得られます。

よって、直線の方程式は$\frac{x+11}{4} = \frac{y-3}{1} = \frac{z-2}{-1}$と書けます。

3. 最終的な答え

直線の方程式は、

$\frac{x-1}{4} = \frac{y-3}{1} = \frac{z-2}{-1}$

パラメータ表示は、

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 4t \\ 3 + t \\ 2 - t \end{pmatrix}$