直角三角形ABCにおいて、∠ABC = 90°であり、Gは三角形ABCの重心である。Dは直線AGと辺BCの交点、Eは直線CGと辺ABの交点である。BD = 5, GD = 3のとき、ACの長さを求めよ。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、∠ABC = 90°であり、Gは三角形ABCの重心である。Dは直線AGと辺BCの交点、Eは直線CGと辺ABの交点である。BD = 5, GD = 3のとき、ACの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、重心の性質を利用して、BDとDCの関係を求めます。Dは辺BCの中点であるため、BD = DCが成り立ちます。したがって、DC = 5 となります。

次に、BCの長さを求めます。BC = BD + DC = 5 + 5 = 10 となります。

$BC = 10$

AG:GD = 2:1 なので

$AG = 2 GD = 2 \times 3 = 6$

三角形ABCにおいて、三平方の定理を用いてACの長さを求める必要がありますが、ABの長さが不明です。ここで、三角形の重心の性質を利用します。重心は中線を2:1に内分します。

DはBCの中点なので、ADは中線です。

同様に、EはABの中点なので、CEは中線です。

ここでメネラウスの定理を用いることを考えます。三角形ABDと直線CEについて適用すると、

$\frac{AE}{EB} \cdot \frac{BC}{CD} \cdot \frac{DG}{GA} = 1$

$1 \cdot \frac{10}{5} \cdot \frac{3}{6} = 1$

となり、これは正しい式です。

次に、中点連結定理を考えると、EはABの中点、DはBCの中点なので、EDはACに平行で、ACの半分です。

$ED = \frac{1}{2} AC$

また、三角形BDGと三角形BAGの面積比は、底辺の比からBD:AD=1:2となります。

$BG:GE = 2:1$

$AG:GD = 2:1$

重心の性質から、ADは中線なので、BD = DC = 5。また、Gは中線を2:1に内分するので、AG:GD = 2:1。

GD = 3なので、AG = 6。

中線ADの長さは、AG + GD = 6 + 3 = 9。

$AD=9$

中線定理を使うことを考えます。中線ADに対して、

$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$

$AB^2 + AC^2 = 2(9^2 + 5^2)$

$AB^2 + AC^2 = 2(81 + 25)$

$AB^2 + AC^2 = 2(106)$

$AB^2 + AC^2 = 212$

また、直角三角形ABCにおいて、ピタゴラスの定理より

$AB^2 + BC^2 = AC^2$

$AB^2 + 10^2 = AC^2$

$AB^2 + 100 = AC^2$

これを連立させて解きます。

$AB^2 + AC^2 = 212$

$AB^2 + 100 = AC^2$

上の式から下の式を引くと、

$AC^2 - 100 = 212 - AC^2$

$2AC^2 = 312$

$AC^2 = 156$

$AC = \sqrt{156} = \sqrt{4 \times 39} = 2\sqrt{39}$

3. 最終的な答え

$AC = 2\sqrt{39}$