放物線 $y^2 = 4x$ の焦点Fを通り、$x$軸の正の向きとなす角が$\alpha$ (ただし $0 < \alpha < \pi$) である直線$l$がある。直線$l$と放物線Cとの2つの交点をA, Bとする。 (1) 線分ABの長さが $AB \le 8$ となるとき、角$\alpha$ のとりうる値の範囲を求める。 (2) 線分ABの長さが $AB \le 8$ であり、直線$l$が楕円 $3x^2 + 2y^2 = 2$ と共有点を持つとき、角$\alpha$のとりうる値の範囲を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y^2 = 4x$ の焦点Fを通り、$x$軸の正の向きとなす角が$\alpha$ (ただし $0 < \alpha < \pi$) である直線$l$がある。直線$l$と放物線Cとの2つの交点をA, Bとする。

(1) 線分ABの長さが $AB \le 8$ となるとき、角$\alpha$ のとりうる値の範囲を求める。

(2) 線分ABの長さが $AB \le 8$ であり、直線$l$が楕円 $3x^2 + 2y^2 = 2$ と共有点を持つとき、角$\alpha$のとりうる値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 放物線 $y^2 = 4x$ の焦点は $F(1,0)$である。

直線 $l$ は $F(1,0)$ を通り、傾きが $\tan \alpha$ であるから、

$y = (\tan \alpha) (x - 1)$ と表せる。

放物線と直線の交点を求めるために、$x = \frac{y}{\tan \alpha} + 1$ を $y^2 = 4x$ に代入する。

$y^2 = 4(\frac{y}{\tan \alpha} + 1)$

$y^2 - \frac{4}{\tan \alpha} y - 4 = 0$

この2解を $y_1$, $y_2$ とすると、$y_1 + y_2 = \frac{4}{\tan \alpha}$, $y_1 y_2 = -4$ である。

$x_1 = \frac{y_1}{\tan \alpha} + 1$, $x_2 = \frac{y_2}{\tan \alpha} + 1$ である。

$AB = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} = \sqrt{(1 + \frac{1}{\tan^2 \alpha})(y_1 - y_2)^2} = \sqrt{(1 + \frac{1}{\tan^2 \alpha})((y_1+y_2)^2 - 4y_1 y_2)} = \sqrt{(\frac{\tan^2 \alpha + 1}{\tan^2 \alpha}) (\frac{16}{\tan^2 \alpha} + 16)} = \sqrt{\frac{16(\tan^2 \alpha + 1)}{\tan^4 \alpha}(\tan^2 \alpha + 1)} = 4 \frac{1 + \tan^2 \alpha}{\tan^2 \alpha} = \frac{4}{\sin^2 \alpha}$

$AB \le 8$ より、$\frac{4}{\sin^2 \alpha} \le 8$

$\sin^2 \alpha \ge \frac{1}{2}$

$\sin \alpha \ge \frac{1}{\sqrt{2}}$ または $\sin \alpha \le -\frac{1}{\sqrt{2}}$

$0 < \alpha < \pi$ より、$\frac{\pi}{4} \le \alpha \le \frac{3\pi}{4}$

(2) $l$と楕円 $3x^2 + 2y^2 = 2$ が共有点を持つ条件を求める。

$y = (\tan \alpha) (x-1)$ を $3x^2 + 2y^2 = 2$ に代入する。

$3x^2 + 2(\tan^2 \alpha) (x-1)^2 = 2$

$3x^2 + 2\tan^2 \alpha (x^2 - 2x + 1) = 2$

$(3+2\tan^2 \alpha)x^2 - 4\tan^2 \alpha x + (2\tan^2 \alpha - 2) = 0$

判別式を $D$ とすると、$D \ge 0$ である。

$D/4 = (2\tan^2 \alpha)^2 - (3 + 2\tan^2 \alpha) (2\tan^2 \alpha - 2) \ge 0$

$4\tan^4 \alpha - (6\tan^2 \alpha - 6 + 4\tan^4 \alpha - 4\tan^2 \alpha) \ge 0$

$2\tan^2 \alpha + 6 \ge 0$

$\tan^2 \alpha \le 3$

$-\sqrt{3} \le \tan \alpha \le \sqrt{3}$

$\frac{\pi}{4} \le \alpha \le \frac{3\pi}{4}$ より、$\frac{\pi}{4} \le \alpha \le \frac{\pi}{3}$ または $\frac{2\pi}{3} \le \alpha \le \frac{3\pi}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\pi}{4} \le \alpha \le \frac{3\pi}{4}$

(2) $\frac{\pi}{4} \le \alpha \le \frac{\pi}{3}$ または $\frac{2\pi}{3} \le \alpha \le \frac{3\pi}{4}$