平行四辺形ABCDにおいて、$AB = \sqrt{3}$, $AD = 5$, $\angle BAD = 30^\circ$のとき、対角線ACの長さを求めよ。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、$AB = \sqrt{3}$, $AD = 5$, $\angle BAD = 30^\circ$のとき、対角線ACの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

対角線ACの長さを求めるために、余弦定理を用いる。

平行四辺形ABCDにおいて、$\angle BAD$と対角の$\angle BCD$は等しいので、$\angle BCD = 30^\circ$である。

三角形ABCにおいて、余弦定理より、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos{\angle ABC}$

平行四辺形なので、$BC = AD = 5$である。

また、$\angle BAD$と$\angle ABC$は隣り合う内角なので、$\angle BAD + \angle ABC = 180^\circ$である。

よって、$\angle ABC = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$である。

$\cos{150^\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$である。

$AC^2 = (\sqrt{3})^2 + 5^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 5 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})$

$AC^2 = 3 + 25 + 15 = 43$

$AC = \sqrt{43}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{43}$