放物線 $y=2x^2$ 上を動く2点P, Qがあり、$\angle POQ = 90^\circ$ である。ただし、Oは原点である。 (1) 線分PQはある定点を通る。この定点の座標を求めよ。 (2) 線分PQの長さが$3\sqrt{3}$であるとき、PQの傾きを求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y=2x^2$ 上を動く2点P, Qがあり、$\angle POQ = 90^\circ$ である。ただし、Oは原点である。

(1) 線分PQはある定点を通る。この定点の座標を求めよ。

(2) 線分PQの長さが$3\sqrt{3}$であるとき、PQの傾きを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点P, Qのx座標をそれぞれ$p, q$とおくと、P, Qの座標はそれぞれ$(p, 2p^2)$, $(q, 2q^2)$と表せる。$\angle POQ = 90^\circ$より、直線OPと直線OQは垂直であるから、

$$\frac{2p^2}{p} \cdot \frac{2q^2}{q} = -1$$

$$4pq = -1$$

$$pq = -\frac{1}{4}$$

直線PQの方程式を求める。傾きは$\frac{2q^2 - 2p^2}{q-p} = 2(q+p)$なので、

$$y - 2p^2 = 2(p+q)(x-p)$$

$$y = 2(p+q)x - 2p^2 + 2p^2 + 2pq$$

$$y = 2(p+q)x + 2pq$$

$pq = -\frac{1}{4}$を代入して、

$$y = 2(p+q)x - \frac{1}{2}$$

これは、$p+q$の値によらず成り立つので、線分PQは定点$(0, -\frac{1}{2})$を通る。

(2) PQの長さを求める。

$$PQ = \sqrt{(q-p)^2 + (2q^2 - 2p^2)^2} = \sqrt{(q-p)^2 + 4(q^2 - p^2)^2} = \sqrt{(q-p)^2 + 4(q-p)^2 (q+p)^2} = \sqrt{(q-p)^2(1+4(q+p)^2)} = |q-p|\sqrt{1+4(p+q)^2}$$

$PQ = 3\sqrt{3}$より

$$|q-p|\sqrt{1+4(p+q)^2} = 3\sqrt{3}$$

$$(q-p)^2(1+4(p+q)^2) = 27$$

$$((p+q)^2 - 4pq)(1+4(p+q)^2) = 27$$

$pq = -\frac{1}{4}$を代入して

$$((p+q)^2 + 1)(1+4(p+q)^2) = 27$$

$t = (p+q)^2$とおくと

$$(t+1)(1+4t) = 27$$

$$4t^2 + 5t + 1 = 27$$

$$4t^2 + 5t - 26 = 0$$

$$(t-2)(4t+13) = 0$$

$(p+q)^2 > 0$より、$t > 0$なので、$t = 2$。

$$(p+q)^2 = 2$$

$p+q = \pm \sqrt{2}$

求める傾きは$2(p+q) = \pm 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) 定点の座標: $(0, -\frac{1}{2})$

(2) PQの傾き: $\pm 2\sqrt{2}$