問題は、与えられた3点A, B, Cを通る円の方程式を求めることです。具体的には、以下の2つのケースについて円の方程式を求める必要があります。 (1) A(1, 1), B(2, 1), C(-1, 0) (2) A(1, 3), B(5, -5), C(4, 2)

1. 問題の内容

問題は、与えられた3点A, B, Cを通る円の方程式を求めることです。具体的には、以下の2つのケースについて円の方程式を求める必要があります。

(1) A(1, 1), B(2, 1), C(-1, 0)

(2) A(1, 3), B(5, -5), C(4, 2)

2. 解き方の手順

円の方程式を一般形 $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$ とおき、与えられた3点の座標を代入することで、$a$, $b$, $c$ に関する連立方程式を立てます。その連立方程式を解き、$a$, $b$, $c$ の値を求め、円の方程式に代入します。

(1) A(1, 1), B(2, 1), C(-1, 0) の場合：

A(1, 1) を代入すると: $1^2 + 1^2 + a(1) + b(1) + c = 0$、つまり $a + b + c = -2$

B(2, 1) を代入すると: $2^2 + 1^2 + a(2) + b(1) + c = 0$、つまり $2a + b + c = -5$

C(-1, 0) を代入すると: $(-1)^2 + 0^2 + a(-1) + b(0) + c = 0$、つまり $-a + c = -1$

連立方程式は次のようになります。

$a + b + c = -2$

$2a + b + c = -5$

$-a + c = -1$

(2番目の式) - (1番目の式) より、$a = -3$

$-a + c = -1$ に $a = -3$ を代入すると、$3 + c = -1$、つまり $c = -4$

$a + b + c = -2$ に $a = -3$ と $c = -4$ を代入すると、$-3 + b - 4 = -2$、つまり $b = 5$

したがって、$a = -3, b = 5, c = -4$ なので、円の方程式は $x^2 + y^2 - 3x + 5y - 4 = 0$ となります。

(2) A(1, 3), B(5, -5), C(4, 2) の場合：

A(1, 3) を代入すると: $1^2 + 3^2 + a(1) + b(3) + c = 0$、つまり $a + 3b + c = -10$

B(5, -5) を代入すると: $5^2 + (-5)^2 + a(5) + b(-5) + c = 0$、つまり $5a - 5b + c = -50$

C(4, 2) を代入すると: $4^2 + 2^2 + a(4) + b(2) + c = 0$、つまり $4a + 2b + c = -20$

連立方程式は次のようになります。

$a + 3b + c = -10$

$5a - 5b + c = -50$

$4a + 2b + c = -20$

(2番目の式) - (1番目の式) より、$4a - 8b = -40$、つまり $a - 2b = -10$

(3番目の式) - (1番目の式) より、$3a - b = -10$

$a = 2b - 10$ を $3a - b = -10$ に代入すると、$3(2b - 10) - b = -10$、つまり $6b - 30 - b = -10$、つまり $5b = 20$、つまり $b = 4$

$a = 2b - 10$ に $b = 4$ を代入すると、$a = 8 - 10 = -2$

$a + 3b + c = -10$ に $a = -2$ と $b = 4$ を代入すると、$-2 + 12 + c = -10$、つまり $c = -20$

したがって、$a = -2, b = 4, c = -20$ なので、円の方程式は $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 20 = 0$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + y^2 - 3x + 5y - 4 = 0$

(2) $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 20 = 0$