半径 $r$ の円 $x^2 + y^2 = r^2$ と直線 $x + 2y - 5 = 0$ が接するとき、$r$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

半径 $r$ の円 $x^2 + y^2 = r^2$ と直線 $x + 2y - 5 = 0$ が接するとき、$r$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

円と直線が接するということは、円の中心と直線の距離が円の半径に等しいということです。

円の中心は原点(0, 0)であり、半径は$r$です。

点(0, 0)と直線 $x + 2y - 5 = 0$ の距離 $d$ は、点と直線の距離の公式を用いて計算できます。

点と直線の距離の公式は、点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離 $d$ は

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

で与えられます。

今回の場合は $(x_0, y_0) = (0, 0)$、 $a = 1$, $b = 2$, $c = -5$ なので、

$d = \frac{|1 \cdot 0 + 2 \cdot 0 - 5|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{|-5|}{\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$

円と直線が接するとき、$d = r$ ですから、 $r = \sqrt{5}$ となります。

3. 最終的な答え

$r = \sqrt{5}$