円と直線の交点の座標を求める問題です。 (1) 円 $x^2 + y^2 = 25$ と直線 $y = x + 1$ (2) 円 $x^2 + y^2 = 8$ と直線 $x + y = 4$

1. 問題の内容

円と直線の交点の座標を求める問題です。

(1) 円 $x^2 + y^2 = 25$ と直線 $y = x + 1$

(2) 円 $x^2 + y^2 = 8$ と直線 $x + y = 4$

2. 解き方の手順

(1)

$y = x + 1$ を $x^2 + y^2 = 25$ に代入します。

$x^2 + (x+1)^2 = 25$

$x^2 + x^2 + 2x + 1 = 25$

$2x^2 + 2x - 24 = 0$

$x^2 + x - 12 = 0$

$(x+4)(x-3) = 0$

$x = -4, 3$

$x = -4$ のとき $y = -4 + 1 = -3$

$x = 3$ のとき $y = 3 + 1 = 4$

(2)

$x + y = 4$ より $y = 4 - x$ を $x^2 + y^2 = 8$ に代入します。

$x^2 + (4-x)^2 = 8$

$x^2 + 16 - 8x + x^2 = 8$

$2x^2 - 8x + 8 = 0$

$x^2 - 4x + 4 = 0$

$(x-2)^2 = 0$

$x = 2$

$x = 2$ のとき $y = 4 - 2 = 2$

3. 最終的な答え

(1) $(-4, -3)$, $(3, 4)$

(2) $(2, 2)$