$x = a + \frac{1}{a}$、 $y = a - \frac{1}{a}$ であるとき、$x^3 - y^3$ を $a$ を用いて表しなさい。

1. 問題の内容

$x = a + \frac{1}{a}$、 $y = a - \frac{1}{a}$ であるとき、$x^3 - y^3$ を $a$ を用いて表しなさい。

2. 解き方の手順

まず、$x^3$ と $y^3$ をそれぞれ計算します。

$x^3 = (a + \frac{1}{a})^3 = a^3 + 3a^2(\frac{1}{a}) + 3a(\frac{1}{a})^2 + (\frac{1}{a})^3 = a^3 + 3a + \frac{3}{a} + \frac{1}{a^3}$

$y^3 = (a - \frac{1}{a})^3 = a^3 - 3a^2(\frac{1}{a}) + 3a(\frac{1}{a})^2 - (\frac{1}{a})^3 = a^3 - 3a + \frac{3}{a} - \frac{1}{a^3}$

次に、$x^3 - y^3$ を計算します。

$x^3 - y^3 = (a^3 + 3a + \frac{3}{a} + \frac{1}{a^3}) - (a^3 - 3a + \frac{3}{a} - \frac{1}{a^3})$

$= a^3 + 3a + \frac{3}{a} + \frac{1}{a^3} - a^3 + 3a - \frac{3}{a} + \frac{1}{a^3}$

$= 6a + \frac{2}{a}$

3. 最終的な答え

$6a + \frac{2}{a}$