与えられた不等式 $(4x + \frac{1}{x})(x + \frac{9}{x}) \geq 49$ を解く。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $(4x + \frac{1}{x})(x + \frac{9}{x}) \geq 49$ を解く。

2. 解き方の手順

まず、不等式の左辺を展開します。

$(4x + \frac{1}{x})(x + \frac{9}{x}) = 4x^2 + 36 + 1 + \frac{9}{x^2} = 4x^2 + \frac{9}{x^2} + 37$

したがって、不等式は

$4x^2 + \frac{9}{x^2} + 37 \geq 49$

$4x^2 + \frac{9}{x^2} \geq 12$

$x^2 = t$ とおくと、$t > 0$ であり、

$4t + \frac{9}{t} \geq 12$

両辺に $t$ をかけて整理すると

$4t^2 - 12t + 9 \geq 0$

$(2t - 3)^2 \geq 0$

この不等式は、$2t - 3 = 0$ のときにも成立します。したがって、

$2t = 3$

$t = \frac{3}{2}$

$x^2 = t = \frac{3}{2}$ なので、

$x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}} = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$

ただし、元の不等式を考えると、$x \neq 0$ である必要があります。

また、不等式 $(2t-3)^2 \geq 0$ は常に成り立つため、$t > 0$ であれば常に不等式を満たします。

したがって、$t = \frac{3}{2}$ のときに等号が成立します。

$x$ の範囲は、$(2x^2 - 3/2)^2 \geq 0$ より、すべての実数 $x$ ($x \neq 0$) で成立します。

3. 最終的な答え

$x \leq -\frac{\sqrt{6}}{2}$, $x \geq \frac{\sqrt{6}}{2}$.

あるいは、$x \in (-\infty, -\frac{\sqrt{6}}{2}] \cup [\frac{\sqrt{6}}{2}, \infty)$。