2つの関数 $y = ax^2$ と $y = bx + 4$ ($b > 0$) について、$x$ の変域が $-1 \leq x \leq 2$ のとき、$y$ の変域が同じになる。このとき、$a$ と $b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

2つの関数 $y = ax^2$ と $y = bx + 4$ ($b > 0$) について、$x$ の変域が $-1 \leq x \leq 2$ のとき、$y$ の変域が同じになる。このとき、$a$ と $b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの関数の $y$ の変域を考えます。

$y = ax^2$ について：

$a$ の符号によって場合分けが必要です。

- $a > 0$ のとき：$x = 0$ で最小値 $0$ を取り、$x = 2$ で最大値 $4a$ を取ります。$y$ の変域は $0 \leq y \leq 4a$ です。

- $a < 0$ のとき：$x = 0$ で最大値 $0$ を取り、$x = 2$ で最小値 $4a$ を取ります。$y$ の変域は $4a \leq y \leq 0$ です。

$y = bx + 4$ ($b > 0$) について：

これは一次関数なので、$x$ が最小のとき $y$ も最小、$x$ が最大のとき $y$ も最大です。

- $x = -1$ のとき、$y = -b + 4$

- $x = 2$ のとき、$y = 2b + 4$

$y$ の変域は $-b + 4 \leq y \leq 2b + 4$ です。

$y$ の変域が同じになるので、次の2つの場合が考えられます。

(1) $a > 0$ の場合：

$0 \leq y \leq 4a$ と $-b + 4 \leq y \leq 2b + 4$ が一致する必要があります。

したがって、

$-b + 4 = 0$

$2b + 4 = 4a$

という連立方程式が得られます。 $-b + 4 = 0$ より $b = 4$ です。これを $2b + 4 = 4a$ に代入すると、$2(4) + 4 = 4a$ となり、$12 = 4a$ より $a = 3$ となります。

(2) $a < 0$ の場合：

$4a \leq y \leq 0$ と $-b + 4 \leq y \leq 2b + 4$ が一致する必要があります。

したがって、

$4a = -b + 4$

$0 = 2b + 4$

という連立方程式が得られます。$0 = 2b + 4$ より $b = -2$ となりますが、$b > 0$ という条件に反します。

したがって、$a = 3$ と $b = 4$ が解となります。

3. 最終的な答え

$a = 3$

$b = 4$