$x > 0$のとき、不等式 $4x + \frac{1}{x} \geq 4$ を証明し、等号が成り立つ条件を求める。

1. 問題の内容

$x > 0$のとき、不等式 $4x + \frac{1}{x} \geq 4$ を証明し、等号が成り立つ条件を求める。

2. 解き方の手順

相加平均と相乗平均の関係を利用して不等式を証明します。

$x > 0$であるから、$4x > 0$ かつ $\frac{1}{x} > 0$ となります。

相加平均と相乗平均の関係より、

$$\frac{4x + \frac{1}{x}}{2} \geq \sqrt{4x \cdot \frac{1}{x}}$$

$$\frac{4x + \frac{1}{x}}{2} \geq \sqrt{4}$$

$$\frac{4x + \frac{1}{x}}{2} \geq 2$$

両辺に2を掛けて、

$$4x + \frac{1}{x} \geq 4$$

したがって、$4x + \frac{1}{x} \geq 4$ が証明されました。

等号が成り立つのは、$4x = \frac{1}{x}$のときです。

$$4x^2 = 1$$

$$x^2 = \frac{1}{4}$$

$x > 0$より、

$$x = \frac{1}{2}$$

3. 最終的な答え

$4x + \frac{1}{x} \geq 4$ が成り立つ。

等号が成り立つのは $x = \frac{1}{2}$ のとき。