7個のリンゴをX, Y, Zの3人で分ける。3人とも少なくとも1個はもらう時、その分け方は何通りあるか。

1. 問題の内容

7個のリンゴをX, Y, Zの3人で分ける。3人とも少なくとも1個はもらう時、その分け方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

この問題は、重複組み合わせの問題として解くことができます。

まず、3人にそれぞれ1個ずつリンゴを配ります。すると、残りのリンゴは$7 - 3 = 4$個となります。

この残りの4個のリンゴを、X, Y, Zの3人に自由に分ける方法を考えます。

これは、4個の同じもの（リンゴ）を3つの異なる箱（X, Y, Z）に入れる場合の数と同じです。

重複組み合わせの公式を用いると、これは $_nH_r = \ _{n+r-1}C_r$ で計算できます。

ここで、$n = 3$ (X, Y, Zの3人) であり、$r = 4$ (残りのリンゴの数) です。

したがって、求める場合の数は、

$_{3}H_{4} = \ _{3+4-1}C_{4} = \ _{6}C_{4} = \ _{6}C_{6-4} = \ _{6}C_{2}$

となります。

$\ _{6}C_{2}$ を計算すると、

$\ _{6}C_{2} = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

となります。

3. 最終的な答え

15 通り