与えられた4つの式を展開しなさい。

1. 問題の内容

与えられた4つの式を展開しなさい。

2. 解き方の手順

(1) $(x + y + 3)(x + y - 5)$

$x + y = A$ と置換すると、

$(A + 3)(A - 5) = A^2 - 2A - 15$

$A$ を $x + y$ に戻すと、

$(x + y)^2 - 2(x + y) - 15 = x^2 + 2xy + y^2 - 2x - 2y - 15$

(2) $(a + b + c)^2$

$(a + b + c)^2 = (a + b + c)(a + b + c)$

$= a(a + b + c) + b(a + b + c) + c(a + b + c)$

$= a^2 + ab + ac + ba + b^2 + bc + ca + cb + c^2$

$= a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$

(3) $(a - b - 6)^2$

$(a - b - 6)^2 = (a - b - 6)(a - b - 6)$

$= a(a - b - 6) - b(a - b - 6) - 6(a - b - 6)$

$= a^2 - ab - 6a - ba + b^2 + 6b - 6a + 6b + 36$

$= a^2 + b^2 - 2ab - 12a + 12b + 36$

(4) $(a + b + 3)(a - b + 3)$

$(a + b + 3)(a - b + 3) = ((a + 3) + b)((a + 3) - b)$

$a + 3 = A$ と置換すると、

$(A + b)(A - b) = A^2 - b^2$

$A$ を $a + 3$ に戻すと、

$(a + 3)^2 - b^2 = a^2 + 6a + 9 - b^2$

$= a^2 - b^2 + 6a + 9$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + 2xy + y^2 - 2x - 2y - 15$

(2) $a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$

(3) $a^2 + b^2 - 2ab - 12a + 12b + 36$

(4) $a^2 - b^2 + 6a + 9$