与えられた式 $x^2 + 2xy - 5x - 6y + 6$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 + 2xy - 5x - 6y + 6$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

与えられた式を因数分解するために、いくつかの項を組み合わせて共通因数を見つけ出すことを試みます。

まず、$x$ について整理してみます。

$x^2 + (2y - 5)x - 6y + 6$

次に、定数項 $-6y+6$ を $-6(y-1)$ と変形します。

$x^2 + (2y - 5)x - 6(y - 1)$

因数分解の形を$(x + a)(x + b)$ と仮定すると、$a + b = 2y - 5$ かつ $ab = -6(y - 1)$ となる $a$ と $b$ を見つける必要があります。

試しに、$a = x-2$ と $b = x-3$ と置くと、 $(x-2)(x-3) = x^2-5x+6$になるので、これは違います。

ここで、与えられた式を再度見て、$x^2+2xy$の部分に着目します。

この部分を$x(x+2y)$と考えると、$-5x-6y+6$の部分と組み合わせて因数分解できる可能性があります。

$x^2 + 2xy - 5x - 6y + 6$ のうち、$x^2+2xy-6y$ の部分をどのように因数分解できるか考えます。しかし、この部分だけではうまくいきません。

与式を $(x+ay+b)(x+cy+d)$ の形に因数分解できると仮定してみます。

$(x+ay+b)(x+cy+d) = x^2 + (a+c)xy + acy^2 + (b+d)x + (ad+bc)y + bd$

与式と比較すると、$ac=0$である必要があるので、$a=0$または$c=0$です。

ここでは、$a=0$と仮定すると、

$(x+b)(x+cy+d) = x^2 + cxy + dx + bcy + bd = x^2 + cxy + dx + bcy + bd$

係数を比較すると、$c=2, d=-5, bc=-6, bd=6$

$c=2$なので、$2b=-6 \implies b = -3$

$bd=6 \implies -3d = 6 \implies d = -2$

$d=-5$と$d=-2$が矛盾するので、この仮定は間違っています。

与式に立ち返り、$x^2 + 2xy - 5x - 6y + 6$

$x^2 - 5x + 6 + 2xy - 6y = (x-2)(x-3) + 2y(x-3) = (x-3)(x-2 + 2y) = (x-3)(x + 2y - 2)$

3. 最終的な答え

$(x-3)(x+2y-2)$